Kurvendiskussion: f(x) = ln(x)/x^2

Question

Aufgabe:

\(f(x)= \dfrac{\ln(x)}{x^2} \\f'(x) = \dfrac{1-2\ln(x)}{x^3}\\ f''(x) = \dfrac{6\ln(x)-5}{x^4}\)

Ich habe folgende Funktion mit ihren Ableitungen gegeben und soll nun die Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte bestimmen. Der Ablauf ist mir bekannt, jedoch komme ich mit der e-Funktion durcheinander, weil wir die Aufgabe per Hand und nicht mit dem Taschenrechner lösen sollen.

Kann mir jemand behilflich sein?

Answer 1

Hallo,

\(\frac{ln(x)}{x^2}=0\\ ln(x)=0\)

\(ln(x)=b\) ist das Geiche wie \(x=e^b\)

\(x=e^0\\ x=1\)

Genauso gehst du für die Extremstellen vor:

\(\frac{1-2ln(x)}{x^3}=0\\ 1-2ln(x)=0\\ -2ln(x)=-1\\ ln(x)=\frac{1}{2}\\ x=e^{\frac{1}{2}}\\ x=\sqrt{e}\)

Die Wendestellen schaffst du sicher selber. Sonst melde dich nochmal.

Gruß, Silvia

Comments

Hallo Silvia,

danke für deine Rechnung. Ich habe denselben Rechenweg, dennoch habe ich ein paar Fragen.

Bezüglich der hinreichenden Bedingung (Extrempunkt in f''(x) einsetzen) und die Berechnung der y-Werte des Extrempunktes, welche Ergebnisse würdest du dort herausbekommen?

Bei der hinreichenden Bedingung würde ich -0,27 herausbekommen und somit wäre der Extrempunkt ein lokales Maximum. Bei dem y-Wert bekomme ich (1/2)/e^1 herausbekommen, bin mir da aber leider etwas unsicher.

Falls mein y-Wert richtig sein sollte, rechnet man (1/2)/e^1 bzw. (1/2)/e aus oder lässt man dies als Ergebnis so stehen?

Danke für deine Hilfe. ☺

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Hallo,

dein Ergebnisse sind richtig. Da ihr ohne Taschenrechner rechnen sollt, würde ich die Ergebnisse mit e stehen lassen.

Also \(f''(\sqrt{e})=-\frac{2}{e^2}\\ f(\sqrt{e})=\frac{0,5}{e}\)

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Vielen Dank! :)

Answer 2

f(x) =0

lnx = 0

x = e^0 = 1

Zu den Ableitungen:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 3

Nullstellen:

f(x)=0  ist genau dann erfüllt, wenn der Zähler 0 ist,

also ln(x)=0  und das gibt x = e⁰ = 1.

Für die Extremwerte brauchst du f '(x)=0

also  1-2ln(x) = 0

        1=2ln(x)

         0,5=ln(x)

       e^0,5 = x. etc.