Auch wenn die Frage schon alt ist und "Beste Antwort" schon vergeben wurde, kann ich den Satz "...gar keine Nullstellen" nicht so ... stehen sehen.
Es gibt schon über 200 Jahre komplexe Zahlen und die Umkehrfunktion zu x * e^x : LambertW(x)
0=2x+log(2x-1)*(2x-1) | -1
-1=(2x-1)+log(2x-1)*(2x-1) | subst1: u=2x-1 und Exponentialfunktion
exp((-1-u)/u)=u |*(-1/u)
e^{-1/u-1} *(-1/u)=-1
e^{-1/u} *(-1/u)=-e |subst2: z=-1/u und Umkehrfunktion
z=LambertW(-e) | Rücksubst2:
u=-1/LambertW(-e) | Rücksubst1:
2x-1=-1/LambertW(-e)
x=(1-1/LambertW(-e))/2
Gute Rechner können das berechnen:http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
also
x1= 0.44111161967499482446076447024089.. +0.26660525097138465444099823482124... i
LambertW hat auch 2 Lösungen: W(-1,-e) also 2. komplexe Lösung:
x2= 0.44111161967499482446076447024089.. -0.26660525097138465444099823482124... i