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Aufgabe:

Begründen sie, welche Elemente ℤ/18ℤ ein multiplikativ Inverses besitzen und geben sie die zueinander inversen Elemente an.

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Die multiplikativ invertierbaren Elemente bilden die

prime Restklassengruppe \(\{1,5,7,11,13,17\}\).

Ich schreibe nur Repräsentanten der Restklassen hin.

Die Potenzen von 5 sind

\(5^1=5, \; 5^2=25=7, \; 5^3=35=-1=17, \; 5^4=5(-1)=-5=13,\)

\(5^5=5(-5)=-7=11\).

Da die Gruppe die Ordnung 6 hat, gilt

\(1=5^6=5\cdot 5^5=5^2\cdot 5^2=5^3\cdot 5^3\), also

\(1=1\cdot 1=5\cdot 17=7\cdot 13=17\cdot 17\) ...

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