Wie berechne ich die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit vom Parameter?

Question

Am Beispiel von:  ft(x)=x²-x+t

Answer 1

Hi,

nimm die pq-Formel. Mit dieser ergibt sich:

p = -1 und q = t


1/2 ± √((1/2)^2 - t)


Die Anzahl der Nullstellen hängt nun vom Radikanden ab. Ist dieser <0 ist die Wurzel nicht definiert und keine Nullstellen.

Ist der Radikand = 0, ist auch die Wurzel 0 und das Doppelvorzeichen bleibt wirkungslos.

Ist der Radikand >0, dann haben wir eine Auswirkung des Doppelvorzeichens.


(1/2)^2 - t = 0

t = 1/4


Für t = 1/4 haben wir also eine Nullstelle, denn die Wurzel ist 0.

Nun noch rausfinden ob es keine Lösung gibt, wenn t>1/4 oder t<1/4.

Punktprobe mit t = 0.

1/4 - 0 = 1/4

(Also für t<1/4 ist der Radikand positiv: zwei Lösungen)


Zusammengefasst.

2 Lösungen für t<1/4

1 Lösung für t = 0

0 Lösungen für t>1/4


Grüße

Answer 2

Du setzt die Funktion gleich 0:

f_t (x) = x^2 - x + t = 0

pq-Formel anwenden:

x₁₂ = 0,5 ± √ (0,25 -t)

Es gibt nun eine Lösung, wenn unter der Wurzel eine 0 entsteht, also gilt:

0,25 - t = 0

t = 0,25

Es gibt keine Lösung, wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht, also gilt:

0,25 - t < 0

0,25 < t

Es gibt zwei Lösungen, wenn unter der Wurzel eine positive Zahl steht, also gilt:

0,25 - t > 0

0,25 > t

 

Es gibt also keine Lösung für t>0,25, eine Lösung für t=0,25 und zwei Lösungen für t<0,25. Entsprechend ist auch die Anzahl der Nullstellen.

Answer 3

 

Du kannst ganz normal die pq-Formel verwenden:

f_t(x) = x² - x + t

x_1,2 = 0,5 ± √(0,25 - t)

Nun gibt es drei Möglichkeiten:

1. t = 0,25 => eine Nullstelle, nämlich x = 0,5 wegen √0 = 0

2. t < 0,25 => zwei Nullstellen, nämlich x₁ = 0,5 + √(0,25 - t) und x₂ = 0,5 - √(0,25 - t), weil Radikant > 0

3. t > 0,25 => keine Nullstelle, da dann der Radikant < 0 wird.

 

Besten Gruß