Vollständige Induktion über n Hochzeitsbegrüßung

Question

Aufgabe:

An einer Hochzeit nehmen ≥ 1 Paare teil. Dabei werden alle Personen mit Ausnahme der/des eigenen Parter*in begrüßt.

Behauptung: Insgesamt finden 2n² - 2n Begrüßungen statt.

1. Überprüfen sie die Behauptung n =1 und n=2 Paare.

2. Beweisen sie die Behauptung mit vollständiger Induktion.

Comments

Und? Hast du die Gültigkeit der Formel schon für ein Paar und für 2 Paare überprüft?

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Wäre der Induktionsanfang oder ?

Habe in die Formel jeweils für n 1 und 2 eingesetzt und bei n=1 0 erhalten und bei n=2 4. Bin mir aber absolut unsicher

IV. Die Behauptung gilt für ein beliebiges aber festes n ∈ ℕ

und IS. dann überall für n n+1 eingesetzt

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Habe in die Formel jeweils für n 1 und 2 eingesetzt und bei n=1 0 erhalten und bei n=2 4. Bin mir aber absolut unsicher

Dann überprüfe deine Ergebnisse an der Realität der Aufgabe!

Wenn nur Herr A und Frau A da sind: Wie viele Begrüßungen finden statt?

Wenn Herr A und Frau A sowie Herr und Frau B da sind: Wie viele Begrüßungen finden statt?

Answer 1

Hallo,

den Induktionsanfang hast du ja schon.

Beim Induktionsschritt setzt du die Formel für n voraus und zeigst, dass sie für n+1 auch gilt.

Die Anzahl der Begrüßungen bei n Paaren sei A(n).

A(n)=2n^2-2n wird vorausgesetzt.

Zu zeigen: A(n+1)=2(n+1)^2 - 2(n+1)

bzw. A(n+1)=2(n^2+2n+1)-2n-2

                   =2n^2+2n     (*)

Wenn ein Paar hinzukommt, begrüßt jeder der beiden Neuen 2n Leute, es kommen also 2•2n bzw. 4n Vorgänge hinzu.

A(n+1)=A(n)+4n

= 2n^2-2n+4n

= 2n^2+2n   (**)

...

:-)