Wieso sind folgene Aussagen falsch b.z.w richtig?

Question

Aufgabe:

Seien V, W Vektorräume über einem Körper K, sei f ∈ L(V, W), und sei a* ∈ V*.

(A) Es existiert b* ∈ W*, sodass a*= b*◦ f.
(B) Wenn der Kern von a* in jenem von f enthalten ist, so liegt a* im Bild der zu f transponierten Abbildung.
(C) Wenn der Kern von a* jenen von f enthält, so liegt a* im Bild
der zu f transponierten Abbildung.

Problem/Ansatz:

Laut Buch sind die A,B falsch und C richtig. B,C kann ich dabei nachvollziehen (glaube ich). Wieso A falsch ist verstehe ich aber überhaut nicht.

Comments

Was ist denn "L"?

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f ∈ L(V, W) heißt, dass f eine lineare Abbildung von V nach W ist.

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L(V,W) ist (normalerweise) der Raum der Linearen Abbildungen von V nach W

Für die Nullabbildung ist a) offensichtlich falsch (wenn V nicht gerade der Nullvektorraum ist), da Linearformem a*≠0 existieren. Dann hat man auch schon ein Gegenbeispiel für die Allgemeingültigkeit von a)

Answer 1

Ich bezeichne die transponierte Abbildung mit \(f^\star\).

Wenn für alle \( v\in V\) gilt

$$a^\star (v) = b^\star\left(f(v)\right)$$

dann bedeutet das für alle \( v\in V\)

$$b^\star\left(f(v)\right) = \left(f^\star(b^\star)\right)(v) = a^\star(v)$$

Damit muss \(a^\star\) im Bild von \(f^\star\) liegen.

Daher gilt die Behauptung nur, wenn \(\operatorname{Bild}\left(f^\star\right)= V\).

Beispiel:

\(V=W= \mathbb R^2\) mit kanonischer Basis \(e_1, e_2\).

Setze \(f(e_1) = e_1,\; f(e_2) = 0 \).

\(\Rightarrow e_2^\star \) kann nicht in der Form \(b^\star\circ f\) geschrieben werden.