Wieso sind die Aussagen falsch/richtig?

Question

Aufgabe:

Sei V ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Körper K. Wir betrachten
die Gleichungen a + b = c, a + c = b, c + b = a.
(A) Wenn die Charakteristik von K ungleich 2 ist, dann existieren Vektoren
a, b, c ∈ V \ {0}, welche alle drei Gleichungen erfüllen.
(B) Wenn die Charakteristik von K gleich 2 ist, dann existieren Vektoren
a, b, c ∈ V \ {0}, welche alle drei Gleichungen erfüllen.
(C) Wenn Vektoren a, b, c ∈ V \ {0} alle drei Gleichungen erfüllen, so
gilt nicht a = b = c.

Problem/Ansatz:

Richtig sollten A und C sein. C ist klar, aber A und B kann ich noch nicht ganz nachvollziehen.

Comments

Bearbeite doch die 3 Gleichungen mal mit den Standard-Schritten für Gleichungssysteme: Addition von 2 Gleichungen .....

Answer 1

A) ist falsch; denn die Koeffizientenmatrix des LGS
a+b-c=0, a+c-b=0, -a+b+c=0 hat den Rang 3, ist
daher invertierbar. Damit hat das LGS nur den Nullvektor
als Lösung.

B) ist richtig:

Nimm a=(1,1,0), b=(1,0,1), c=(0,1,1).

C) ist richtig;

denn a+a=a liefert a=0, also wegen a=b=c auch b=0 und c=0.