Zeige, dass für alle f, g, h: M → ℝ gilt f+g=g+f sowie f+(g+h)=(f+g)+h .

Question

Aufgabe:

Wir definieren die Summe von zwei Abbildungen \( f, g: M \rightarrow \mathbb{R} \) als Abbildung \( f+g: M \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( x \mapsto f(x)+g(x) \). Zeige, dass für alle \( f, g, h: M \rightarrow \mathbb{R} \) gilt \( f+g=g+f \) sowie \( f+(g+h)=(f+g)+h \).

Problem/Ansatz:

Weiß jemand, wie man dies \( f, g, h: M \rightarrow \mathbb{R} \) gilt \( f+g=g+f \) sowie \( f+(g+h)=(f+g)+h \) ausführlich beweist.

Mir ist schon klar, dass es sich hier bei Zahlen um das Kommutativ- bzw. Assoziativgesetzt handeln würde!

Ist dies nun für Abbildungen gleich wie für Zahlen zu beweisen oder anders?

Comments

Wähle für ein Verständnis der Aufgabenstellung zunächst drei Funktionen f, g und h,

Etwa so f(x)=x+1, g(x)=x²-x und h(x) =\( \frac{1}{x-2} \) und prüfe, ob der Kommutativ- und das Assoziativgesetz gilt. Versuche dann, deine Erkenntnisse zu verallgemeinern.

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Versuche dann, deine Erkenntnisse zu verallgemeinern.

Das ist wohl das Problem.

Ob da konkrete Beispiele weiterhelfen?

Darf man Abstraktes aus Konkretem ableiten? Es muss immer gelten.

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Genau so ist es meines Erachtens ggT22. Mit Beispielen Nachrechnen bekomme ich schon hin - das wäre ja selbst mit einfachen Zahlen zwecks Kommutativ- bzw. Assoziativgesetzt kein Hexenwerk. Allerdings kann ich daraus, für mich, keinen konkreten Beweis ableiten!?

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Eine Vorstellung von der Aufgabenstellung bekommt man recht gut mit konkreten Beispielen. Wie weit danach die Abstraktion gelingt ist in der Tat dann noch offen. Aber gar nichts versuchen, führt ganz sicher nicht zur Lösung.

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Ich sehe das so wie du, die Profis mögen so etwas aber gar nicht, was ich mitbekomme.

Motto: Nur ja nicht anschaulich, Mathe ist dazu da, abstrakt(est) denken zu lernen,

und vor allen ja "nicht um praktische Aufgaben zu lösen".

Das Zitat stammt von einem Mathe-Gymnasiallehrer.

Komisch nur, das auch die Abi-Aufgabe praktische Aufgaben enthalten.

Warum wohl?

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Auch abstraktes Denken lernt man an konkreten Objekten. Der abstrakte Zahlbegriff wird im Anfangsunterricht über konkrete Mengen nach und nach erworben. Der Moment, in dem das Kind dann die Abstraktionsleistung vollbringt, ist meist gar nicht lokalisierbar, aber im späteren Lernfortgang erkennbar.

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Auch abstraktes Denken lernt man an konkreten Objekten.

Das scheinen manche hier vergessen zu haben oder nicht mehr wahrhaben zu wollen.

Mathe war einst etwas rein Praktisches wie Zählen von Viehbeständen, Geld, Bevölkerung usw.

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Ich würde die Thematik so sehen:

Egal ob vom Konkreten zum Abstrakten oder vom Abstrakten zum Konkreten, am Ende stet doch stets das Ziel ein Thema verstanden zu haben und aus dem ff anwenden zu können. Der Lernprozess ist in unserer Gesellschaft so gestaltet, egal ob in der Schule oder der Universität, aus Stückweisen Wissen konkretes zu ziehen, was meines Erachtens nicht falsch, ober auch nicht unbedingt Zielführend ist (immer wieder von Null anzufangen ist schließlich nicht strebsam). Wenn man nicht immer mit unkonkreten Fachwissen als Neuling gefüttert werden würde, anstatt eine Thematik präzise erläutert zu bekommen, dann wäre der Lehrnprozess doch viel effektiver und Nachhaltiger für beide Seiten. Oder anders gesagt: Wenn man mal etwas tiefgründig erklärt bekommen würde, dann wäre das Verständnis für die konkrete und richtige Anwendung auch viel schneller vorhanden und mit Sicherheit auch besser verankert.

Definitionen und Abstraktes kann jeder auswendig lernen und widergeben, was nicht heißt. dass man diese auch nur im geringsten Verstanden hat.

Und für letzteres sind solche Foren wie diese hier doch da, um Problemstellungen zu lösen und miteinander zu festigen bzw. sich diese aus einem anderen Blickwinkel anschaulich machen zu lassen. In diesem Sinne vielen Dank für eure mithilfe ☺

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was nicht heißt. dass man diese auch nur im geringsten Verstanden hat.

Genau dazu animiert die Schule, weil oft schlecht erklärt wird und kein echtes

Interesse geweckt. Man kann sich mit Auswendiglernen zu Abi durchmogeln.

Das war schon immer so. An Privatschulen gehts wohl noch leichter, wenn

man weiß,wie, oder die nötige Kohle hat.

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@Euler07: Du schreibst.

"solche Foren wie diese hier doch da, um Problemstellungen zu lösen und miteinander zu festigen"

Das wäre natürlich  sehr schön, wenn solche Foren das leisten könnten, Ich fürchte aber, das bleibt ein frommer Wunsch. Die meisten Fragesteller wünschen sich eine vollständige Antwort. Wer nur Denkanstöße gibt, beginnt einen sehr langen Dialog mit Kommentaren und Nachfragen. Ob der Dialog auf Seiten des Fragestellers mit einem Verstehen endet, bleibt meist unklar.

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Wer nur Denkanstöße gibt, beginnt einen sehr langen Dialog mit Kommentaren und Nachfragen

Oft unnötigen, weil man es leicht auf den Punkt bringen kann.

Zudem entsteht oft Verwirrung und Frust beim TS und auch anderen Helfern.

"Was sich überhaupt sagen lässt, lässt sich klar sagen; und wovon man nicht reden kann, darüber muss man schweigen."  (Wittgenstein)

Answer 1

Zwei Abbildungen \(f_1,f_2:\, M\rightarrow \mathbb{R}\) sind gleich,

wenn ihre Werte für alle Argumentwerte übereinstimmen.

Sei also \(x\in M\) beliebig,

dann gilt

\((f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)\)

wegen der Kommutativität der Addition in \(\mathbb{R}\).

Da \(x\in M\) beliebig ist, folgt \(f+g=g+f\).

Assoziativität geht entsprechend.

Comments

Wiedermal vielen Dank ermanus für deine Bemühungen, etwas verständlich zu erklären ☺☺

Answer 2

Beweis: Für alle Elemente a∈M gilt, weil die Funktionswerte Zahlen aus ℝ sind, das Kommutativ- und das Assoziativgesetz. Wenn etwas für alle Elemente gilt, kann auch x für a geschrieben werden.