Aufgabe:
Betrachten Sie ein Handelsbuch mit den folgenden Optionen auf eine Aktie S:
| Typ | Position | Delta der Option | Gamma der Option | Vega der Option |
| Call | -1000 | 0.5 | 2.2 | 1.8 |
| Call | -500 | 0.8 | 0.6 | 0.2 |
| Put | -2000 | -0.4 | 1.3 | 0.7 |
| Call | -500 | 0.7 | 1.8 | 1.4 |
1.Berechnen Sie Delta, Gamma und Vega des Handelsbuchs.
2. Welche Position im Basiswert macht das Portfolio delta neutral?
3. Angenommen, eine gehandelte Option ist mit einem Delta von 0,6 verfügbar, einem Gamma von
1,5 und ein Vega von 0,8. Welche Position in der gehandelten Option und der
Basiswerte machen das Portfolio sowohl gamma-neutral als auch delta-neutral ?
4. Welche Position in der gehandelten Option und dem Basiswert machen das Portfolio
sowohl vega-neutral als auch delta-neutral?
5. Angenommen, eine zweite gehandelte Option mit einem Delta von 0,1 hat ein Gamma von 0,5
und ein Vega von 0,6 ist verfügbar. Wie kann das Portfolio Delta-,
Gamma- und Vega-neutral gemacht werden?
Problem/Ansatz:
1.
Delta = −1000 · 0.5 − 500 · 0.8 + 2000 · 0.4 − 500 · 0.7 = −450
Gamma = −1000 · 2.2 − 500 · 0.6 − 2000 · 1.3 − 500 · 1.8 = −6000
Vega = −1000 · 1.8 − 500 · 0.2 − 2000 · 0.7 − 500 · 1.4 = −4000
2.
∂V / ∂S + x · ∂S/∂S
= −450 + x · 1=0
Also 450 da die Gleichung damit gelößt wird.
3.
0 = \( (\frac{ \delta V}{ \delta S} + x * \frac{ \delta S}{ \delta S} + y * \frac{ \delta H1}{ \delta S}) * \Delta S + \frac{1}{2} ( \frac{ \delta^2V}{ \delta S^2 } + y \frac{ \delta^2 H1}{ \delta S^2 } ) * (\triangle S)^2 \)
= (−450 + x + 0.6y) ΔS + 12 (−6000 + 1.5y) (ΔS)2
Hier fängt das Problem schon an . Die Formel aus zwei kann ich ja noch nachvollziehen. Die aus 3 leider nicht mehr . Woher kommen die ΔS bzw. welcher Wert ist das ? Ich habe die Aufgabe jedenfalls anders gelößt.
4000 * 1,5 = 6000 ( Da das Gamma dadurch neutralisiert wird) & dann 4000 * 0.6 -450 = -1950 für Delta
Diese Angaben sind auch in den Lösungen vorhanden , ich weiß leider nicht welche Zahlen ich für die ΔS benutzen muss. Das müsste ja die Differenz von S und S sein.
4.
\( 0 = (\frac{ \delta V}{ \delta S} + x * \frac{ \delta S}{ \delta S} + y * \frac{ \delta H1}{ \delta S}) * \Delta S + ( \frac{ \delta V }{ \delta \sigma } + y * \frac{\delta H1}{\delta \sigma } ) * \triangle \sigma \)
= (−450 + x + 0.6y) ΔS + (−4000 + 0.8y) * \triangle \sigma
Schlussendlich das gleiche Spiel hier nochmal. Ich weiß nicht woher ich \triangle \sigma bzw. \triangle S hernehmen soll, habe aber wie bei 3 auf folgende Weisse rechnen können ( Ergebnisse stimmen)
5000 * 0.8 = 4000 ( Da das Gamma dadurch neutralisiert wird) & dann 5000 * 0.6 -450 = -2550 für Delta
5.
Hier habe ich leider keinen Lösungsweg. Ich habe es mit den Ansätzen oben probiert mit jeglichen Kombinationen komme aber nicht auf die richtigen Ergebnisse. Diese wären: x = -1710, y = 3200 z = 2400
Die Formel dazu wäre jedenfalls:
\( 0 = (\frac{ \delta V}{ \delta S} + x * \frac{ \delta S}{ \delta S} + y * \frac{ \delta H1}{ \delta S} + z *\frac{ \delta H2}{ \delta S} ) * \Delta S + ( \frac{ \delta^2V}{ \delta S^2 } + y * \frac{ \delta^2 H1}{ \delta S^2 } + z \frac{ \delta^2 H2}{ \delta S^2 } ) * (\triangle S)^2 + + ( \frac{ \delta V }{ \delta \sigma } + y * \frac{\delta H1}{\delta \sigma } + z * \frac{\delta H2}{\delta \sigma } ) * \triangle \sigma \)
Mein Hauptproblem ist wie immer, das ich die Formeln nicht ganz verstehe :(
In diesem Fall verstehe ich nicht woher die \triangle \sigma \ bzw. \triangle S herkommen, bzw. welche Zahl ich da jeweils einfügen muss. Das müsste ja eigentlich nur die Differenz zwischen der veränderten Größe und der ursprünglichen Größe sein. Ich habe schon alles versucht , und komme leider nicht drauf.
Zur Aufgabe 5) wäre es vielleicht ganz nett , wenn mir jemand das ganze mit Zahlen ausschreiben könnte so wie es bei 3 & 4 nach der "theoretischen" Formel gemacht wurde. Wenn ich dann noch weiß woher die \triangle kommen , wird das schon klappen.
Ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
Wie immer vielen Dank im Voraus !
(Ich konnte leider kein geeigntes Stichwort finden, deshalb analysis genommen)
