lineare Abbildungen (Bedingung erfüllt?)

Question

Erläutern Sie, ob es eine lineare Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) gibt, die die drei Bedingungen

\( \varphi(1,2,-1)=(4,-3), \quad \varphi(-1,1,3)=(-1,2), \quad \varphi(1,5,1)=(7,-3) \)

erfüllt.

Comments

Hast du schon bestimmt, ob die 3 Vektoren (1,2,-1), (-1,1,3), (1,5,1) linear (un)abhängig sind?

Answer 1

Wenn die Abbildung \(\varphi\) linear ist, dann gilt insbesondere$$\begin{aligned}\varphi(0,0,0)&=\varphi\big(2\cdot(1,2,-1)+(-1,1,3)-(1,5,1)\big)\\&=2\cdot\varphi(1,2,-1)+\varphi(-1,1,3)-\varphi(1,5,1)\\&=2\cdot(4,-3)+(-1,2)-(7,-3)\\&=(0,-1).\end{aligned}$$Es müsste aber auch \(\varphi(0,0,0)=(0,0)\) sein, deswegen kann \(\varphi\) nicht linear sein.

Answer 2

Ich schreibe f statt φ: f(1|2|-1)+f(-1|1|3))=f(0|3|2) muss bei einer linearen Abbildung gelten

                  oder auch: (4|-3) + {-1|2) = (3|-1)

Also ist f(0|3|2)=(3|-1). Jetzt muss bei einer linearen Abbildung gelten:

f(1|2|-1)+f(0|3|2)=f(1|5|1) und daher

   (4|-3)+ (3|-1) = (7|-4).

Dann aber ist f(1|5|1)=(7|-4) und nicht (7|-3), wie es sein sollte.

Es ist also keine lineare Abbildung.