Untervektorraum zeigen, Basis bestimmen und ergänzen

Question

Aufgabe:

Untervektorräume, Basis
Gegeben sei der \( \mathbb{R} \)-Vektorraum \( V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \).

(a) Zeigen Sie, dass \( U:=\{p \in V: p(-1)=0=p(1)\} \) ein Untervektorraum von \( V \) ist.

(b) Bestimmen Sie eine Basis von \( U \).

(c) Ergänzen Sie die Basis aus (b) zu einer Basis von \( V \).

Answer 1

Hallo

die Vektoren in \( V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \). sind  p=cx^2+bx+a  der UR sind also alle p mit a-b+c=0

Zeige dass die Polynoms mit dieser Bedingung  die Axiome eines VR erfüllen , das muss man einfach aufschreiben .

Wenn du mit den Standard Basisvektoren 1,x,x^2 arbeitest ist ein Vektor in P2 (a,b,c)  der im UR hat dann die Form (a,b, b-a) oder (r,s,s-r) davon ne Basis solltest du können und dann auch den fehlenden zum Ergänzen.

sonst schreib, wo genau du hängen bleibst.

Gruß lul

Comments

"der UR sind also alle p mit a-b+c=0"

und p mit a+b+c=0, oder nicht?

Answer 2

Da die Elemente von \(U\) in -1 und in 1 eine Nullstelle haben

und den Grad max. 2 besitzen, gilt:

\(p\in U\iff \exists\; c\in \mathbb{R}: \; p=c(x+1)(x-1)=c(x^2-1)\).

Sind nun \(p_1,p_2\in U\), so gibt es \(c_1,c_2\in \mathbb{R}\) mit

\(p_1=c_1(x^2-1), \; p_2=c_2(x^2-1)\), also \(p_1+p_2=(c_1+c_2)(x^2-1)\)

und da \(c_1+c_2\in \mathbb{R}\) ist, folgt \(p_1+p_2\in U\).

Die Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation kriegst du nun selber hin.

Als Basis von \(U\) bietet sich vielleicht \(\{x^2-1\}\) an ?

Comments

Ich weiß wie die Skalarmultiplikation geht, allerindgs weiß ich nicht, wie ich auf die Vektoren komme.

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Welche Vektoren meinst du denn?

Du musst doch nur zeigen:

\(p\in U \wedge r\in \mathbb{R}\Rightarrow r\cdot p \in U\).

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Was ist jetzt r?

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Eine reelle Zahl, also ein Skalar.

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Kann es sein, dass du die Begriffe

"Skalarprodukt" und "Skalarmultiplikation" verwechselst?

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Kann sein.

Ich kann also für r=λ nehmen?

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Klar. Es ist doch egal, wie die Skalare bezeichnet werden.

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Ich verstehe die Schreibweise leider garnicht und kann mir nicht vorstellen wie daa dazu aussieht. Könntest du vielleicht weiterhelfen?

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Könntest du vielleicht weiterhelfen?

Ich verstehe dein Problem nicht.
Ihr habt doch sicher Unterraum-Kriterien besprochen?

Wie sind die bei euch formuliert?

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Eine Teilmenge U von V ist genau dann ein Unterraum von V , wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:
(i) 0∈U;
(ii) für u,v∈U folgt stets u+v∈U;
(iii) für a∈F und u∈U folgt stets a*u∈U.

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(iii) für a∈F und u∈U folgt stets a*u∈U.

Ja. Genau darum geht's:

a ist r, F ist \(\mathbb{R}\) und p ist u.

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Was p ist weiß ich ja, aber was ist r?

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Hallo

das Polynom ist p=c*(x-1)*(x+1)

r*p=r*c*(x-1)*(x+1) und r*x aus R also r*p=c1 und damit ist rp in U√

du kannst statt r auch  erstmal eine Zahl nehmen  3 oder e oder √2 wenn du es dann besser verstehst, und dann eine beliebige Zahl r oder a. oder λ Hauptsache du sagst r∈ℝ

lul

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Was p ist weiß ich ja, aber was ist r

Ein Element des Skalarkörpers \(\mathbb{R}\), also das,

was in (iii) der Kriterien \(a\) heißt.

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Es tut mir leid, aber ich verstehe es einfach nicht

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Wenn \(p\) in \(U\) liegt und z.B. \(r=4711\in\mathbb{R}\) ist,

muss man begründen, dass dann auch \(4711\cdot p\in U\) ist.

Wenn ein Polynom in \(U\) liegt, muss auch jedes reelle Vielfache

dieses Polynoms in \(U\) liegen