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Aufgabe:

Untervektorräume, Basis
Gegeben sei der R \mathbb{R} -Vektorraum V=P2(R) V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) .


(a) Zeigen Sie, dass U : ={pV : p(1)=0=p(1)} U:=\{p \in V: p(-1)=0=p(1)\} ein Untervektorraum von V V ist.


(b) Bestimmen Sie eine Basis von U U .


(c) Ergänzen Sie die Basis aus (b) zu einer Basis von V V .

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Hallo

die Vektoren in V=P2(R) V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) . sind  p=cx^2+bx+a  der UR sind also alle p mit a-b+c=0

Zeige dass die Polynoms mit dieser Bedingung  die Axiome eines VR erfüllen , das muss man einfach aufschreiben .

Wenn du mit den Standard Basisvektoren 1,x,x2 arbeitest ist ein Vektor in P2 (a,b,c)  der im UR hat dann die Form (a,b, b-a) oder (r,s,s-r) davon ne Basis solltest du können und dann auch den fehlenden zum Ergänzen.

sonst schreib, wo genau du hängen bleibst.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

"der UR sind also alle p mit a-b+c=0"

und p mit a+b+c=0, oder nicht?

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Da die Elemente von UU in -1 und in 1 eine Nullstelle haben

und den Grad max. 2 besitzen, gilt:

pU      cR :   p=c(x+1)(x1)=c(x21)p\in U\iff \exists\; c\in \mathbb{R}: \; p=c(x+1)(x-1)=c(x^2-1).

Sind nun p1,p2Up_1,p_2\in U, so gibt es c1,c2Rc_1,c_2\in \mathbb{R} mit

p1=c1(x21),  p2=c2(x21)p_1=c_1(x^2-1), \; p_2=c_2(x^2-1), also p1+p2=(c1+c2)(x21)p_1+p_2=(c_1+c_2)(x^2-1)

und da c1+c2Rc_1+c_2\in \mathbb{R} ist, folgt p1+p2Up_1+p_2\in U.

Die Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation kriegst du nun selber hin.

Als Basis von UU bietet sich vielleicht {x21}\{x^2-1\} an ?

Avatar von 29 k

Ich weiß wie die Skalarmultiplikation geht, allerindgs weiß ich nicht, wie ich auf die Vektoren komme.

Welche Vektoren meinst du denn?

Du musst doch nur zeigen:

pUrRrpUp\in U \wedge r\in \mathbb{R}\Rightarrow r\cdot p \in U.

Was ist jetzt r?

Eine reelle Zahl, also ein Skalar.

Kann es sein, dass du die Begriffe

"Skalarprodukt" und "Skalarmultiplikation" verwechselst?

Kann sein.

Ich kann also für r=λ nehmen?

Klar. Es ist doch egal, wie die Skalare bezeichnet werden.

Ich verstehe die Schreibweise leider garnicht und kann mir nicht vorstellen wie daa dazu aussieht. Könntest du vielleicht weiterhelfen?

Könntest du vielleicht weiterhelfen?

Ich verstehe dein Problem nicht.
Ihr habt doch sicher Unterraum-Kriterien besprochen?

Wie sind die bei euch formuliert?

Eine Teilmenge U von V ist genau dann ein Unterraum von V , wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:
(i) 0∈U;
(ii) für u,v∈U folgt stets u+v∈U;
(iii) für a∈F und u∈U folgt stets a*u∈U.

(iii) für a∈F und u∈U folgt stets a*u∈U.

Ja. Genau darum geht's:

a ist r, F ist R\mathbb{R} und p ist u.

Was p ist weiß ich ja, aber was ist r?

Hallo

das Polynom ist p=c*(x-1)*(x+1)

r*p=r*c*(x-1)*(x+1) und r*x aus R also r*p=c1 und damit ist rp in U√

du kannst statt r auch  erstmal eine Zahl nehmen  3 oder e oder √2 wenn du es dann besser verstehst, und dann eine beliebige Zahl r oder a. oder λ Hauptsache du sagst r∈ℝ

lul

Was p ist weiß ich ja, aber was ist r

Ein Element des Skalarkörpers R\mathbb{R}, also das,

was in (iii) der Kriterien aa heißt.

Es tut mir leid, aber ich verstehe es einfach nicht

Wenn pp in UU liegt und z.B. r=4711Rr=4711\in\mathbb{R} ist,

muss man begründen, dass dann auch 4711pU4711\cdot p\in U ist.

Wenn ein Polynom in UU liegt, muss auch jedes reelle Vielfache

dieses Polynoms in UU liegen

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