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Die Punkte der Menge$$G=\{(x;y;z)^T\in\mathbb R^3\,\big|\,x^2+y^2+z^2\le1\;\pink{\land\;z\ge0}\}$$liegen alle innerhalb einer Kugel mit Radius \(1\) oder auf deren Oberfläche. Der Mittelpunkt dieser Kugel liegt im Koordinatenursprung. Über diese Kugel soll nun das Integral$$I=\iiint\limits_Ge^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\,dV$$berechnet werden. Dazu brauchen wir einen Ortsvektor \(\vec r\), der vom Urpsrung ausgehend alle Punkte der Menge \(G\) abtastet. Wegen der Kugelsymmetrie des Problems stellen wir diesen Ortsvektor in Kugelkoordinaten dar:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\vartheta\in\left[0;\pink{\frac\pi2}\right]$$
Wegen \((x^2+y^2+z^2=r^2)\) wird der Integrand zu \(e^{-\sqrt{r^2}}=e^{-r}\).
Das Volumenelemnt in Kugelkoordinaten lautet: \(dV=dx\,dy\,dz=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta\).
Damit können wir das gesuchte Integral formulieren:$$I=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\vartheta=0}^{\pink{\pi/2}} e^{-r}\,r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta=\int\limits_{r=0}^1r^2e^{-r}\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{\vartheta=0}^{\pink{\pi/2}}\sin\vartheta\,d\vartheta$$
Die drei Integrale kannst du wie gewohnt berechnen:$$I_1=\int\limits_0^1\underbrace{r^2}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-r}}_{=v'}\,dr=\left[\underbrace{r^2}_{=u}\cdot\underbrace{(-e^{-r})}_{=v}\right]_0^1-\int\limits_0^1\underbrace{2r}_{=u'}\cdot\underbrace{(-e^{-r})}_{=v}\,dr=-e^{-1}+\int\limits_0^1\underbrace{2r}_{=f}\cdot\underbrace{e^{-r}}_{=g'}\,dr$$$$\phantom{I_1}=-\frac1e+\left[\underbrace{2r}_{=f}\cdot\underbrace{(-e^{-r})}_{=g}\right]_0^1-\int\limits_0^1\underbrace{2}_{=f'}\cdot\underbrace{(-e^{-r})}_{=g}\,dr=-\frac1e-2e^{-1}+\int\limits_0^12e^{-r}\,dr$$$$\phantom{I_1}=-\frac1e-\frac2e+\left[-2e^{-r}\right]_0^1=-\frac3e-\frac2e+2=2-\frac5e$$$$I_2=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi=\left[\varphi\right]_0^{2\pi}=2\pi$$$$I_3=\int\limits_{\vartheta=0}^{\pink{\pi/2}}\sin\vartheta\,d\vartheta=\left[-\cos\vartheta\right]_0^{\frac\pi2}=\pink0-(-1)=\pink1$$
Damit erhalten wir als Ergebnis:$$I=\pink2\pi\left(2-\frac5e\right)$$
