Kombinatorik, wann welche Formel?

Question

Wir haben folgende Beispielaufgabe:

In einem Supermarkt warten insgesamt n Kunden an k Kassen (es gibt also k Warteschlangen). Geben Sie im Folgenden immer die allgemeine Lösung an und rechnen Sie die Lösung für den Fall n = 6, k = 3 konkret aus:

(a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, nicht unterscheidbare Kunden auf unterscheidbare Kassen zu verteilen, wenn einzelne Warteschlangen auch leer bleiben dürfen?

(b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, nicht unterscheidbare Kunden auf unterscheidbare Kassen zu verteilen, wenn keine Warteschlange leer sein darf?

Und folgende Tabelle als Hilfe:

Für (a) vermute ich ohne Reihenfolge (da die Kunden nicht unterscheidbar sind) + mit Wiederholung (da die Kassen auch leer sein können). Es ergibt sich also die Formel n + k - 1 über k = 8 über 3?

Für (b) vermute ich wieder ohne Reihenfolge (Kunden noch immer nicht unterscheidbar) und dieses Mal ohne Wiederholung (da Kassen nicht leer sein dürfen). Es ergibt sich die Formel n über k, also 6 über 3?

Comments

Hallo DanielJackson, ist jetzt alles klar?

Answer 1

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, nicht unterscheidbare Kunden auf unterscheidbare Kassen zu verteilen, wenn einzelne Warteschlangen auch leer bleiben dürfen?

(n + k - 1 über k) = (3 + 6 - 1 über 6) = (8 über 6) = (8 über 2) = 28

b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, nicht unterscheidbare Kunden auf unterscheidbare Kassen zu verteilen, wenn keine Warteschlange leer sein darf?

(n + k - 1 über k) = (3 + 3 - 1 über 3) = (5 über 3) = (5 über 2) = 10

Comments

Nur weil in der Aufgabe n = 6 und k= 3 vorgegeben ist, muss das nicht zwangsweise das n und k in der Formel sein.

Aber den meisten Schülern ist es hier auch meist egal, ob für jeden Kunden eine Kasse oder für jede Kasse ein Kunde gewählt wird. Nur wenigen Schülern dürfte wirklich klar sein, dass darin ein Unterschied besteht.

Answer 2

b)  1 2 3 -> 6 Möglichkeiten

2 2 2 -> 1 Mögl.

1 1 4 -> 6 Mögl.

Ich komme auf 13 Mögl.

Comments

Zähle doch mal die 6 Möglichkeiten für den dritten Fall auf

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1 1 4 -> 6 Mögl

1 1 4

1 4 1

4 1 1

--> 3 Möglichkeiten

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Stimmt. Danke. Ich hatte (4über2) statt (3über2) gerechnet.

Wohl wegen der 4, unbewusst.