Hallo Leute!
Es handelt sich wieder um das Kurvenintegral. Wie üblich habe ich die Aufgabe durchgerechnet. Könnte wieder jemand einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben, ob die Rechenschritte alle korrekt sind?
Aufgabe:
Seien
\( \gamma:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto\left(\begin{array}{c} t \\ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \\ t \end{array}\right) \quad \text { und } \quad f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R},\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto \frac{15}{4}(x+z) \)
Bestimmen Sie das Kurvenintegral von \( f \) längs \( \gamma \).
Problem/Ansatz:
3) Kurvenintegral 1.Art
\( \gamma:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, t \mapsto\left(\begin{array}{l} t \\ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \\ t \end{array}\right) \)
\( \begin{array}{l} f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R},\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \longmapsto \frac{15}{4}(x+z) \\ S \gamma f \circ d s=\int \limits_{-2}^{2} f(\gamma(t)) \cdot\|\gamma(t)\| d t= \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \begin{array}{c} \dot{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ t^{\frac{1}{2}} \\ 1 \end{array}\right) ; \quad\|\dot{\gamma}(t)\|=\sqrt{1^{2}+\left(t^{\frac{1}{2}}\right)^{2}+1^{2}} \\ =\sqrt{2+t} \end{array} \\ f(\gamma(t))=\frac{15}{4}(t+t)=\frac{15}{4}(2 t)=\frac{30}{4} t \\ \int \limits_{-2}^{2} \frac{30 t}{4} \cdot \sqrt{2+t} d t=\frac{15}{2} \int \limits_{-2}^{2} t \cdot \sqrt{2+t} d t \\ u=2+t \rightarrow t=u-2 \\ d u=1 d t \\ \text { Grenzen: } 2 \longmapsto u_{2}=4 \\ -2 \longmapsto u_{1}=0 \\ \end{array} \)
\( \begin{array}{l}\frac{15}{2} \int \limits_{-2}^{2}(u-2) \cdot \sqrt{u} d u= \\ \frac{15}{2} \cdot \int \limits_{-2}^{2}\left(u^{2} \cdot u^{\frac{1}{2}}-2 \cdot u^{\frac{1}{2}}\right) d u= \\ \frac{15}{2} \cdot \int \limits_{-2}^{2}\left(u^{\frac{3}{2}}-2 u^{\frac{1}{2}}\right) d u= \\ \frac{15}{2}\left[\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}-2 \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{4}= \\ \frac{15}{2}\left[\frac{2}{5} \sqrt{u^{5}}-\frac{4}{3} \sqrt{u^{3}}\right]_{0}^{4}= \\ \frac{15}{2}\left[\frac{2}{5} \sqrt{1024}-\frac{4}{3} \sqrt{64}\right]= \\ \frac{15}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot 32-\frac{15}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 8= \\ 3 \cdot 32-5 \cdot 2 \cdot 8=96-80=16 .\end{array} \)
