Brüche kürzen - komme absolut nicht mehr weiter

Question

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand BITTE erklären, WIE man das hier so gekürzt hat?? Egal, was ich auch tue und mache, ich komme nie darauf, dass man in der 2. Zeile ein (x-2) in der Mitte stehen hat. Ganz oben rechts, also bei 2*(x-2), wird doch das (x-2) mit dem ersten (x-2)^2 gekürzt, so dass es am Ende wegfällt, und vorne nur noch ein (x-2) steht. Wieso fügt man das denn in der 2. Zeile wieder hinzu!?

Answer 1

Im Zähler wurde (x-2) ausgeklammert und damit gekürzt.

a/(a^2)^2 = a/a^4 = 1/a^3

Answer 2

Der Zähler ist

\((x-2)^2-(x+1)\cdot 2\cdot (x-2)={\color{blue}{(x-2)}}\cdot (x-2)-{\color{blue}(x-2)}\cdot2\cdot (x+1)\)

Hier kannst du \((x-2)\) ausklammern:

\({\color{blue}(x-2)}\cdot ((x-2)-2\cdot(x+1))\)

Answer 3

Hallo,

das Zauberwort heißt Ausklammern.

\( \begin{array}{l}=\dfrac{1 \cdot(x-2)^{2}-(x+1) \cdot 2 \cdot(x-2)}{\left[(x-2)^{2}\right]^{2}} \\[5mm]=\dfrac{\green{(x-2)}\cdot(x-2)-(2x+2) \cdot\green{(x-2)}}{\left(x-2\right)^4} \\[5mm] =\dfrac{\green{(x-2)}\cdot[(x-2)-(2 x+2)]}{(x-2)^{4}} \\ =\dfrac{-x-4}{(x-2)^{3}}\end{array} \)

Ganz oben rechts, also bei 2*(x-2), wird doch das (x-2) mit dem ersten (x-2)² gekürzt, so dass es am Ende wegfällt, und vorne nur noch ein (x-2) steht.

Das ist falsch. Gekürzt wird nur zwischen "oben" (Zähler) und "unten" (Nenner), nicht "auf gleicher Höhe".

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Answer 4

Aloha :)

Wir betrachten die Termumformung mit mehreren Zwischenschritten:$$\phantom=\frac{(x-2)^2-\pink{(x+1)\cdot2}\cdot(x-2)}{\green{[(x-2)^2]^2}}=\frac{(x-2)^2-\pink{(2x+2)}\cdot(x-2)}{\green{(x-2)^4}}$$Im Zähler wurde das pinke Produkt ausgerechnet und im Nenner haben wir die beiden Hochzahlen gemäß der Regel \(\green{(a^b)^c=a^{b\cdot c}}\) miteinander multipliziert.

Nun fällt auf, dass wir im Zähler \((x-2)\) ausklammern können und im Nenner als Faktor abspalten können:$$=\frac{(x-2)\cdot\left[(x-2)-\pink{(2x+2)}\right]}{\green{(x-2)\cdot(x-2)^3}}$$

Aus Zähler und Nenner können wir nun \((x-2)\) kürzen:$$=\frac{\cancel{(x-2)}\cdot\left[(x-2)-\pink{(2x+2)}\right]}{\green{\cancel{(x-2)}\cdot(x-2)^3}}=\frac{(x-2)-\pink{(2x+2)}}{\green{(x-2)^3}}$$

Schließlich fassen wir den Zähler noch zusammen:$$=\frac{x-2\pink{-2x-2}}{(x-2)^3}=\frac{-x-4}{(x-2)^3}$$

Comments

Auch hier, vielen Dank für die sehr ausführliche Antwort.

Ich habe es jetzt verstanden