Wieso schneidet die Normale eine Tangente im 90° Winkel?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die auf R definiert Funktionen mit f_a mit f_a= e^ax(a ∈ R \ {0}). Die zugehörigen Graphen werden mit K_a bezeichnet.

Untersuchen Sie, welche Beziehungen a₁ und a₂ bestehen muss, damit sich K_a1 und K_a2 senkrecht schneiden.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass die Lösung a₂ = - \( \frac{1}{a1} \) ist bzw, dass das die Normale ist. Aber wieso schneidet die Normale eine Tangente im 90° Winkel?

Answer 1

Aber wieso schneidet die Normale eine Tangente im 90° Winkel?

Weil der Begriff Normale so definiert wurde.

Comments

ja ok, aber eigentlich meinte ich ja, warum das die lösung ist? Ich brauch da ne begründung, aber komme da leider nicht drauf

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\(f_a(x)=e^{ax}\)

Die Steigung = 1. Ableitung ist

\(f'_a(x)=a\cdot e^{ax}\).

Steigungen von Funktionen sind orthogonal, wenn gilt \(m_1\cdot m_2=-1\), hier also \(a_1\cdot a_2=-1\Rightarrow a_2=-\frac{1}{a_1}\)

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Schnittpunkt berechnen. Für \(a_1\neq a_2\) gilt

        \(\begin{aligned}&&f_{a_1}(x) &= f_{a_2}(x)\\&\iff& \mathrm{e}^{a_1x}&=\mathrm{e}^{a_2x}\\&\iff& a_1x &= a_2x \\&\iff& (a_1-a_2)x&=0\\&\iff& x&=0\end{aligned}\).

Also muss \(f'_{a_1}(0) = -\frac{1}{f'_{a_2}(0)}\) sein.

Es gilt

        \(\begin{aligned}&&f'_{a_1}(0) &= -\frac{1}{f'_{a_2}(0)}\\&\iff&a_1\mathrm{e}^{a_1\cdot 0}&=-\frac{1}{a_2\mathrm{e}^{a_2\cdot 0}}\\&\iff&a_1&=-\frac{1}{a_2}\end{aligned}\)

weil \(\mathrm{e}^{a_1\cdot 0}=\mathrm{e}^{a_2\cdot 0}=1\) ist.