z^4 = 1 in Gaußscher Zahlenebene skizzieren

Question

ich habe nur eine sehr triviale Frage, aber gerade ein Brett vorm Kopf und komme einfach nicht mehr drauf bzw. kann mich nicht mehr erinnern, was wir dazu hatten, es wurmt mich jetzt aber.

Die Aufgabe lautete:

Skizzieren Sie folgende Teilmengen der komplexen Zahlenebene

...

{z ∈ C | z^4 = 1}

Ich habe dann einfach \( \sqrt[4]{z} \) gezogen und somit +/-  \( \sqrt[4]{1} \) , dann aber die beiden Punkte auf der Re(z)-Achse eingezeichnet, was falsch war. Warum müssen sie auf der Im(z)-Achse eingezeichnet werden?

Comments

Weil nicht nur \(1^4=(-1)^4=1\) gilt, sondern auch \(\mathrm i^4=(-\mathrm i)^4=1\).

Answer 1

Hallo,

komplexe Gleichungen der Form

z^n = a

haben n Lösungen.

In deiner Aufgabe sind es also 4 Zahlen, die gesucht sind.

z^4=1

--> z^2=1 oder z^2 =-1

1^2=1, (-1)^2=1, i^2=-1, (-i)^2=-1

Also z∈{1, -1, i, -i}.

Answer 2

z^4-1=(z^2+1)*(z^2-1) =0 und die 4 Punkte kennst du sicher.

lul

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Hier brauchst du nur die dritte binomische Formel:$$0=z^4-1=(z^2+1)(z^2-1)=(z^2-i^2)(z^2-1)=(z-i)(z+i)(z-1)(z+1)$$kannst daraus die Nullstellen \((\pm i)\) und \((\pm1)\) ablesen und in der Gauß-Ebene darstellen:$$i\to\binom{0}{1}\quad;\quad -i\to\binom{0}{-1}\quad;\quad 1\to\binom{1}{0}\quad;\quad-1\to\binom{-1}{0}$$