Die Parametergleichung
\(\vec{x} = \vec{a} + t\cdot \vec{b}\)
kannst du einerseits als die Beschreibung einer Geraden ansehen. Eine Gerade ist ein statisches Objekt, das heißt sie ist ein Objekt, dass sich nicht verändert.
Andererseits kannst du die Parametergleichung auch als Funktion
\(\vec{x}(t) = \vec{a} + t\cdot \vec{b}\)
ansehen, die besagt, dass ein Objekt in Abhängigkeit des Parameters \(t\) einen gewissen Zustand \(\vec{x}(t)\) einnimmt.
Im ersten Fall spielt es keine Rolle, ob du \(\vec{b}\) durch sein dreifaches oder durch sein \(-\frac{5}{4}\)-faches ersetzt oder einen anderen Punkt der Geraden für den Stützvektor verwendest; es bleibt das gleiche Objekt.
Der zweite Fall kommt in deiner Aufgabe zu tragen. Die Objekte, die ihren Zustand ändern, sind die Schiffe. Der Parameter bedeutet Zeitpunkt (in beiden Parametergleichungen). Der Zustand, der sich verändert, ist der Ort des jeweiligen Schiffes.
Das heißt:
hat ein Schiff S1 zum Zeitpunkt t = 0 die Position A(5/1/0) und ein zweites Schiff S2 die Position B (3/4/0)
In beiden Parametergleichung wird der gleiche Parameter verwendet und er hat die gleiche Bedeutung.
Aufpunkt der Parametergleichung von \(S1\) ist \(A\), Aufpunkt der Parametergleichung von \(S2\) ist \(B\). Weil \(S1\) genau dann im Punkt \(A\) ist, wenn \(S2\) im Punkt \(B\) ist.
Nach einer Stunde hat S1, die Position A₂(7/2/0) und S2 die Position B₂(7/3/0).
Richtungsvektor von \(S1\) ist \(\vec{AA_2}\). Richtungsvektor von \(S2\) ist \(\vec{BB_2}\). Weil die Bewegung von \(A\) nach \(A_2\) des ersten Schiffes die gleiche Zeit verbraucht, wie die Bewegung von \(B\) nach \(B_2\) des zweiten Schiffes.
Damit kommt man zu den zwei Parameterdarstellungen
\(\begin{aligned}\vec{OS_1}(t) &= \vec{OA} + t\cdot\vec{AA_2}\\\vec{OS_2}(t) &= \vec{OB} + t\cdot\vec{BB_2}\end{aligned}\).
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Schiffe die kleinste Entfernung voneinander haben,
Berechne den Tiefpunkt der Funktion
\(d(t) = \left|S_1(t) - S_2(t)\right|\).
Wie können sie dann einen Abstand voneinander haben, wenn die sich schneiden?
Wenn Schnittpunkte von Geraden berechnet werden sollen, dann muss man dafür sorgen, dass die Parameter unterschiedlich benannt sind. Weil die Parameter unterschiedliche Bedeutung haben:
- Der Parameter der Parametergleichung von \(g_1\) gibt an, mit welchem Faktor der Richtungsvektor der Parametergleichung von \(g_1\) skaliert werden muss um vom Aufpunkt der Parametergleichung von \(g_1\) den Schnittpunkt zu erreichen.
- Der Parameter der Parametergleichung von \(g_2\) gibt an, mit welchem Faktor der Richtungsvektor der Parametergleichung von \(g_2\) skaliert werden muss um vom Aufpunkt der Parametergleichung von \(g_2\) den Schnittpunkt zu erreichen.
In deiner Aufgabe geht es aber nicht um Schnittpunkte, sondern darum, wo sich die Schiffe zu einem bestimmten Zeitpunkt befinden. Deshalb muss ein gleichbedeutender Parameter verwendet werden.
