Vektorielle Geometrie; Kleinste Abstände der Schiffe zur Boje

Question

Guten Tag, unzwar schreibe ich am Montag eine Matheklausur und habe eine Frage zur folgenden Aufgabe:

Ein Schiff hat zum Zeitpunkt  t=0 die Position (5/1) und ein zweites Schiff hat zur selben Zeit die Position (3/4) - Angaben in km. Nach einer Stunde hat das erste Schiff die Position (7/2) und das zweite Schiff (7/3). Auf dem Gewässer liegt im Punkt C(10/3) eine Boje. Wie groß ist jeweils der kleinste Abstand der Schiffe zur Boje?

Mein Rechenweg:

Ich wollte hier nur mein Rechenweg für das erste Schiff reinschreiben, da für das 2. Schiff dann das gleiche in grün gilt.

erstes Schiff = S₁ mit Startpunkt P₁ (5/1) und Standpunkt nach 1 Stunde P₂ (7/2) 

Standpunkt der Boje C (10/3) 

Berechnung der Geraden g der zurückgelegten Strecke des Schiffes : 

Vektor P₁P₂ = (2/1) Ortsvektor von P₁ (5/1) also :

Geraden g= (5/1) + t · (2/1)

Kleinsten Abstand von S1 zu C berechnen: 

gesuchter Punkt auf der Geraden g der den kleinsten Abstand zu C besitzt = Q

Q(5+2·t / 1+t)

Vektor Q_tC = (10-(5+2t)  /  3-(1+t)) = (5-2t / -1+t)

Extremwertbedingung: 

Betrag von Vektor Q_tC berechnen:

√(5-2t)²+(2-t)²

Dies hab ich als Funktion in den Graphen des Taschenrechners eingegeben und das Minimum bestimmt raus kam: d(2,4) = 0,447

also ist t=2,4 und der minimale Abstand 447 meter.

Ist das so richtig ? Weil ich habe mit dem Lösungsbuch verglichen und dort stehen andere Ergebnisse... Jedoch dazu zusagen ist, dass das Lösungsbuch oft fehlerhaft ist... ..

Comments

Ich nutze nur einmal den Plotter

~plot~ 1/2 * x - 3/2 ; { 5 | 1 } ; { 7 | 2 } ; { 10 | 3 } ~plot~

Die Gerade hat bei x = 9.8 den kleinsten Abstand zu C.
Das Intervall geht aber nur von x = 5 bis x = 7.
Deshalb hat der 2.Punkt ( 7 | 2 ) den geringsten Abstand.

Vielleicht hilft dir mein Kommentar weiter.
Ansonsten gib einmal die Lösung im Buch an.

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vielleicht ist das Intervall gar nicht eingeschränkt und

man soll sich vorstellen das Schiff fährt mit der gl. Geschw. immer

weiter geradeaus.

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Ich muss ja von jedem der beiden Schiffe den kleinsten Abstand zum Punkt berechnen im Lösungsbuch steht nur: Der jeweils kleinste Abstand zur Boje ist 11,33 km bzw. 0,85 km.
Ehrlich gesagt hilft mir das Koordinatensystem nicht... weil ja was anderes gefragt ist aber trotzdem danke für die schnelle Antwort@mathef ja, meine Gerade ist ja auch nicht eingeschränkt je nachdem was für ein t du einsetzt erhältst du die jeweilige Koordinate

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Die von mir berechnete Gerade hat bei
x = 9.8 den geringsten Abstand
( 9.8  | 3.4 ) ( 10 | 3 )
Der Abstand beträgt dann 0.447 km und stimmt mit
keinem Buchwert überein.

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Dann wäre meine Lösung mit 447 meter also richtig?

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Für das 2.Schiff ergibt sich
( 9.82  | 2.295 ) ( 10 | 3 )
Abstand 0.728 km

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Also falls so eine Aufgabe kommt, bin ich mit meinem Rechenweg auf der sicheren Seite?

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Unglücklichsterweise ist mir die Vektorrechnung nicht geläufig.

Answer 1

mit Vektorrechnung:

g₁:  \(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}\) + t • \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix}\) ,  \(\vec{n}\) = \( \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) , \(\vec{n}\)o = 1/√5 •  \( \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) 

d(C,g₁)  =  | \(\vec{n}\)₀  •  \( \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}\) -   \(\vec{n}\)₀  \( \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}\) |    = 3/√5  ≈  0,447

g₂:  \(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) + s • \( \begin{pmatrix} 4 \\ -1\end{pmatrix}\) ,  \(\vec{n}\) = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\) , \(\vec{n}\)o = 1/√17 •  \( \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\) 

d(C,g2)  =  | \(\vec{n}\)₀  •  \( \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}\) -   \(\vec{n}\)₀  \( \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) |    = 3/√(17)  ≈  0,728

Gruß Wolfgang

Comments

Deinen Ansatz finde ich voll genial - Respekt.  ( Wenn die guten Noten vergeben werden für die genialen Eingebungen, nicht für das richtige Ergebnis. ) Wär ich nie drauf gekommen. Auch du hast einen Fehler; einen Zahlendreher.  Wenn doch



     n  =  (  1  |  -  2  )  ===> n0  =  1 / sqr ( 5 )  (  1  |  -  2  ) 


   Warum sage ich das? Hätt mich gefreut, wenn man sich auf euch verlassen könnte. Wenn wenisten einer von euch das richtige Ergebnis hätte, mit dem ich meines vergleichen kann.
   Was nich is, is nich.

Answer 2

Ich komme aus der elektronischen Großindustrie; für eine Schnittpunktsformel, die ich den komplexen Sinussatz ( KS ) nenne, bekam ich mal eine Gehaltserhöhung. Gedacht ist sie an sich nur für CAD ; doch ich hatte mal eine Aufgabe, da steht sie Konkurrenz los da. Wenn du zu diesen Punkten noch Fragen hast, lass es mich wissen.

Auch ich habe die beiden Geraden in Parameterform, fasse jedoch die Ebene als komplex auf. Der Vorteil: Komplexe Zahlen sind mehr wie Vektoren; mit denen kannst du richtig rechnen.  Die Gerade g2

g2  :=  s2  +  k2  t2      (  1a  )

s2  =  5 +  i  =  Startpunkt des 1. Schiffes     (  1b  )

t2  =  7  +  2  i  -  s2  =  2  +  i    (  1c  )

Mit g2 wurde die Fahrtroute von Schiff 1 bezeichnet. Und? Was ist g1 ? Der kürzeste Abstand ergibt sich, wenn du von C aus das Lot auf g2 fällst. Für die Lotgerade g1 hast du

g1  :=  s1  +  k1  t1     (  2a  )

s1  =  C  =  10  +  3  i    (  2b  )

Komplexe Zahlen sind Mega einfach; senkrecht Stehen drückt sich immer aus durch Multiplikation mit der imaginären Einheit i  .

t1  =  i  t2  /  |  t2  |         (  2c  )

Für die Schnittpunktsberechnung wäre es natürlich egal, ob du ( 2cd ) normierst oder nicht. In k1 willst du aber die wahre Distanz zurück haben. Jetzt wirst du dir denken, zwei Unbekannte k1;2 , Lösen des gekoppelten LGS ( 1a;2a ) Genau diese Arbeit nehme ich dier ab. Der KS macht eine Aussage über den Wert von k1 im Schnittpunkt. Ach übrigens; ich konnte den auswändig lange vor der Mitternachtsformel ( MF )

s  :=  s2  -  s1    (  3a  )

imag  ( s / t2 )

k1  =   -----------------------------------         (  3b  )

imag ( t1 / t2 )

Ganz genau wie bei der MF tust du nur mechanisch einsetzen. Ach übrigens; wenn du das Dreieck s t1 t2 aufzeichnest, leuchtet der Begriff KS unmittelbar ein. Aus ( 1b;2b )

s  =  s2  -  s1  =  -  (  5  +  2  i  )    (  4  )

Jetzt kommt ( 1c ) ins Spiel

5  +  2  i

s / t2 =  -  -----------------   =   (  5a  )

2  +  i

=  ( 1/5 )  (  5  +  2  i  )  (  i  -  2  )    (  5b  )

imag  ( s / t2 ) = ( 1/5 )  (  5 * 1 - 2 * 2 )  =  1/5   (  5c  )

beachte ( 1c;2c )

t1 / t2  =  i /  |  t2  |  =  i / sqr ( 5 )      ( 6a )

imag ( t1 / t2 )  =  1 / sqr ( 5 )     (  6b  )

( 5c;6b ) zusammen fassen; ( 3b ) kommt zur Anwendung

k1  =  ( 1/5 ) :  1 / sqr ( 5 ) = 1 / sqr ( 5 )       ( 7 )

Wer von uns beiden hat sich hier verrechnet? Du hast

<<  Vektor Q_tC = (10-(5+2t)  /  3-(1+t)) = (5-2t / -1+t)   ( 8a )

Die rechte Seite von ( 8a ) muss aber heißen

10  -  (  5  +  2  t  )  =  5  -  2  t       (  8b  )  ;  korrekt

3  -  (  1  +  t  )  =  2  -  t    (  8c  )   und nicht t - 1 , was du hast .

Comments

Es handelt sich bei mir legendlich um ein Flüchtigkeitsfehler, selbstverständlich habe ich mit 2-t weiter gerechnet sie bei der Extremwertbedingung zu sehen ist