Wie kann ich hier die kritischen Punkte bestimmen?

Question

Aufgabe: Wie kann ich hier die kritischen Punkte bestimmen?

Text erkannt:

\( f(x, y)=y^{2}-2 y \cos (x),-7<x<1 \)

Problem/Ansatz:

Ich habe als kritische Punkte C(0,0) und C(pi/2,1/sqrt(2))

Answer 1

Aloha :)

Die kritischen Punkte sind diejenigen, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{2y\sin x}{2y-2\cos(x)}\stackrel{(-7<x<1)}{\implies}\left\{\begin{array}{c}y=0\;\lor\;x\in\{-2\pi;-\pi;0\}\\y=\cos x\end{array}\right.$$

1. Fall: \(y=0\):$$y=\cos x\implies\cos x=0\stackrel{(-7<x<1)}{\implies}x=-\frac\pi2\;\lor\;x=-\frac{3\pi}{2}$$Dieser Fall liefert also 2 kritische Punkte:$$K_1\left(-\frac\pi2\bigg|0\right)\quad;\quad K_2\left(-\frac{3\pi}{2}\bigg|0\right)$$

2. Fall: \(x\in\{-2\pi;-\pi;0\}\)$$y=\cos x=\left\{\begin{array}{rl}1 & \text{für }x=-2\pi;0\\-1 & \text{für }x=\pi\end{array}\right.$$Dieser Fall liefert 3 weitere kritische Punkte:$$K_3(-2\pi|1)\quad;\quad K_4(-\pi|-1)\quad;\quad K_5(0|1)$$