Bestimmen Sie die kritischen Punkte der folgenden Funktionen.

Question

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Bestimmen Sie die kritischen Punkte der folgenden Funktionen. Uberprüfen Sie für jeden kristichen Punkt, ob es sich um ein lokales Maximum, ein lokales Minimimum oder Sattelpunkt handelt.
(a) $f(x, y)=(x-1)^{2}+y^{2}$.
(b) $f(x, y)=(x-1)^{2}-y^{2}$.
(c) $f(x, y, z)=x^{2}-2 x+y^{2}+\log \left(1+z^{2}\right)$.
(d) $f(x, y)=e^{x-y}\left(x^{2}-2 y^{2}\right)$.

Aufgabe:

Problem/Ansatz: wie rechnet man das bei C)? Danke im Voraus für die Hilfe!

Answer 1

Hallo,

Aufgabe c)

Es ist wohl ln für log gemeint , da im Hochschulbereich üblich

fx= 2x -2

fy=2y

fz= $\frac{2z}{1+z^2}$

f_x, f_y , f_z=0 setzen und nach der Variable auflösen:

2x-2=0 ->x=1

2y=0 ->y=0

2z=0 -->z=0

->P(1/0/0)

allgemein H f(x,y,z) =

$$\begin{pmatrix} fxx & fxy & fxz \\ fyx & fyy & fyz \\ fzx & fzy & fzz \end{pmatrix}$$

----->H f(1,0,0) =

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-2(z^{2}-1) }{(1+z^2)^{2} } \end{pmatrix}$$

-->den Punkt eingesetzt , ergibt sich für die Determinante die charakt. Gleichung:

(2- λ)³ =0

λ_1,2,3=2

--> alle Eigenwerte sind positiv ->lokales Minimum für P (1,0,0)