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Bestimmen Sie die kritischen Punkte der folgenden Funktionen. Uberprüfen Sie für jeden kristichen Punkt, ob es sich um ein lokales Maximum, ein lokales Minimimum oder Sattelpunkt handelt.
(a) f(x,y)=(x1)2+y2 f(x, y)=(x-1)^{2}+y^{2} .
(b) f(x,y)=(x1)2y2 f(x, y)=(x-1)^{2}-y^{2} .
(c) f(x,y,z)=x22x+y2+log(1+z2) f(x, y, z)=x^{2}-2 x+y^{2}+\log \left(1+z^{2}\right) .
(d) f(x,y)=exy(x22y2) f(x, y)=e^{x-y}\left(x^{2}-2 y^{2}\right) .

Aufgabe:


Problem/Ansatz: wie rechnet man das bei C)? Danke im Voraus für die Hilfe!

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Hallo,

Aufgabe c)

Es ist wohl ln für log gemeint , da im Hochschulbereich üblich

fx= 2x -2

fy=2y

fz= 2z1+z2 \frac{2z}{1+z^2}

fx, fy , fz=0 setzen und nach der Variable auflösen:

2x-2=0 ->x=1

2y=0 ->y=0

2z=0 -->z=0


->P(1/0/0)

allgemein H f(x,y,z) =

(fxxfxyfxzfyxfyyfyzfzxfzyfzz)\begin{pmatrix} fxx & fxy & fxz \\ fyx & fyy & fyz \\ fzx & fzy & fzz \end{pmatrix}

----->H f(1,0,0) =

(200020002(z21)(1+z2)2)\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-2(z^{2}-1) }{(1+z^2)^{2} } \end{pmatrix}

-->den Punkt eingesetzt , ergibt sich für die Determinante die charakt. Gleichung:

(2- λ)3 =0

λ1,2,3=2

--> alle Eigenwerte sind positiv ->lokales Minimum für P (1,0,0)

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