Bestimmen Sie die kritischen Punkte der folgenden Funktionen.

Question

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Bestimmen Sie die kritischen Punkte der folgenden Funktionen. Uberprüfen Sie für jeden kristichen Punkt, ob es sich um ein lokales Maximum, ein lokales Minimimum oder Sattelpunkt handelt.
(a) \( f(x, y)=(x-1)^{2}+y^{2} \).
(b) \( f(x, y)=(x-1)^{2}-y^{2} \).
(c) \( f(x, y, z)=x^{2}-2 x+y^{2}+\log \left(1+z^{2}\right) \).
(d) \( f(x, y)=e^{x-y}\left(x^{2}-2 y^{2}\right) \).

Aufgabe:

Problem/Ansatz: wie rechnet man das bei C)? Danke im Voraus für die Hilfe!

Answer 1

Hallo,

Aufgabe c)

Es ist wohl ln für log gemeint , da im Hochschulbereich üblich

fx= 2x -2

fy=2y

fz= \( \frac{2z}{1+z^2} \)

f_x, f_y , f_z=0 setzen und nach der Variable auflösen:

2x-2=0 ->x=1

2y=0 ->y=0

2z=0 -->z=0

->P(1/0/0)

allgemein H f(x,y,z) =

$$\begin{pmatrix} fxx & fxy & fxz \\ fyx & fyy & fyz \\ fzx & fzy & fzz \end{pmatrix}$$

----->H f(1,0,0) =

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-2(z^{2}-1) }{(1+z^2)^{2} }  \end{pmatrix}$$

-->den Punkt eingesetzt , ergibt sich für die Determinante die charakt. Gleichung:

(2- λ)^3 =0

λ_1,2,3=2

--> alle Eigenwerte sind positiv ->lokales Minimum für P (1,0,0)