kritischen Punkte von f berechnen

Question

Aufgabe:

Sei f : R² → R, f(x, y) = x²+xy+x−y+1. Bestimmen Sie die kritischen Punkte von
f, indem Sie die Stellen (x0, y0) ∈ R2 berechnen, an denen der Gradient ∇_f(x0, y0)der Nullvektor ist

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

\(  ∇(f) = \begin{pmatrix} \frac{δf(x,y)}{dx} \\ \frac{δf(x,y)}{dy} \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 2x+y+1 \\ x-1\end{pmatrix}  \)

\( ∇(f) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) am Punkt (1,-3)

Comments

Hä?

So?

f_x (x,y) = 2x +y +1

f_y (x,y) = x-1

f_x (1,3) = 2 * 1 + 3 +1 = 6

f_y (1,3) = 1-1 = 0

\( \begin{pmatrix} 6\\0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \)

Und dann? Das sieht irgendwie falsch aus

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2x +y +1 = 0

x-1 = 0

2 Gl. 2 Unbek.

x und y bestimmen.

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Ups, dann kommt ja 1,-3 raus. Und das wars schon?

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Ja, das ist der kritische Punkt.

https://www.wolframalpha.com/input?i=f%28x%2Cy%29%3Dx2%2Bxy%2Bx%E2%88%92y%2B1+critical+point

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Vielen Dank!

Die weitere Teilaufgabe lautet:

Untersuchen Sie auch, ob ein lokales Maximum oder Minimum
vorliegt, indem Sie die Hesse-Matrix Hf (x, y) von f berechnen und diese an den
kritischen Punkten (x0, y0) auf Definitheit bzw. Indefinitheit uberprüfen.

Weißt du, wie ich da weiter vorgehe? Die Hessematrix habe ich.

Zeile 1: (2 1)

Zeile 2: (1 0)

Ich hätte jetzt den Punkt (1,-3) in die Hessematrix eingesetzt, und wenn eine Diagonalmatrix entsteht, die Werte ablesen?

Und: gibt es nur einen kritischen Punkt?

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Das geht ja irgendwie gar nicht. Ich kann ja den kritischen Punkt gar nicht in die Hesse-matrix einsetzen, wenn in der Hesse-matrix schon nur Konstanten stehen.

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Habe leider keine Zeit, aber hier (1.3 ...) wird das ganz gut erklärt:

https://www.ph.tum.de/academics/bsc/break/2014s/fk_MA9203_03_course.pdf

Answer 2

Die Funktion einmal nach x und einmal nach y ableiten und jeweils Null setzen.