In welchen Punkten ist die Kurve am weitesten von ihrer Asymptoten entfernt?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion y(x) = \( \frac{x^{3}-8x}{x^{2}+4} \) = x - \( \frac{12x}{x^{2}+4} \)

In welchen Punkten ist die Kurve am weitesten von ihrer Asymptoten (a(x) = x) entfernt?

Problem/Ansatz:

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Mein erster Ansatz wäre gewesen, die Asymptote a(x) = 1 mit der Funktion y(x) gleichzusetzten, abzuleiten und davon ein Maximum zu bilden, aber ich glaube nicht das es so klappt.

Vielen Dank für jede Hilfe

Comments

Die Aufgabe hat ein kleines Verständnis Problem. Die Asymptote ist ja a(x)=1.

Was ist jetzt mit Abstand gemeint?

1. |f(x)-a(x)|

2. Min |f(x)-a(s)|, s in R

Was ist da in der Schule i.allg. gemeint?

---

Die Aufgabe hat ein kleines Verständnis Problem. Die Asymptote ist ja a(x)=x

Was ist jetzt mit Abstand gemeint?

1. |f(x)-a(x)|

2. Min |f(x)-a(s)|, s in R

Was ist da in der Schule i.allg. gemeint?

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Bei 2. meinte ich den euklidischen Abstand zwischen dem Punkt (x,f(x)) und (s,a(s)).

Ist durch Abakus schon beantwortet.

Answer 1

Berechne, in welchen Punkten des Graphen die Ableitung den gleichen Wert hat wie der Anstieg der Asymptote.

Answer 2

Ich würde es so machen:

Drehen der Funktion um 45 Grad, indem man das vordere x weglässt, also:

$$f(x)=\frac{-12x}{x^2+4}$$

Ableitung: $$f'(x) = \frac{12x^2-48}{(x^2+4)^2}$$

Nullsetzen, also Zähler gleich Null: $$12x^2-48=0$$

$$x=\pm 2$$

Comments

Wenn du den Graphen WIRKLICH um 45° drehst erhältst du etwas, was nicht mehr Graph einer Funktion ist.