Aufgabe:
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Aufgabe 1
\( (4+2+2 \) Punkte)
Es sei die Menge \( G:=\mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{1}{2}\right\} \) gegeben. Weiter sei auf \( G \) die Verknüpfung \( \star \) durch
\( a \star b:=2 a b+a+b \)
für \( a, b \in G \) definiert.
Man soll in dieser kygabe zeigen, dass \( (G, *) \) eine abelsche Grupe ist.
- assoziativ, remmutativ und neurmales Element \( (e=0) \) habe ich schon zeigen kēnnen
- mein Problem liegt beim Inversen und die désung hase ich auch, jedoch weiß ich nicht wie men ay diese leomnt.
Text erkannt:
Inverse: Sei \( a \in G \). Wir behaupten, dass \( a^{-1}:=-\frac{a}{2 a+1} \) ein Inverses zu \( a \) definiert. Weil aus \( a \in G \) folgt, dass \( a \neq-\frac{1}{2} \), ist \( a^{-1} \) jedenfalls wohldefiniert.
Außerdem gilt
\( \begin{aligned} a \star a^{-1} & =2 a \cdot\left(-\frac{a}{2 a+1}\right)+2 a+\left(-\frac{a}{2 a+1}\right) \\ & =\frac{-2 a^{2}+a(2 a+1)-a}{2 a+1}=0=e . \end{aligned} \)
Mein Ansalz ist es allgemein die Gleichung für das invese anfansellen:
\( a * a^{-1}=e \)
Dos nenhrate habe ich ja sanon mit \( e=0 \), also:
\( a+a^{-1}=0 \)
kyfersen kann ich die verkaneppjuy woer die Vorgabe:
\( 2 a a^{-1}+a+a^{-1}=0 \)
ther komment aser mein Problem. Egal wie ich es drehe and wende, ich belconue heice zäsuy fèr \( a^{-1} \).
