Wenn (G,*) eine Gruppe ist, in welcher jedes Element sein eigenes Inverses...

Question

Zeigen Sie, wenn (G,*) eine Gruppe ist in der jedes Element sein eigenes Inverses ist, dann ist (G,*) eine kommutative Gruppe.

Wie beweist man das bitte?

Answer 1

Seien \(a,b\in G\). Dann gilt \(a*b=(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}=b*a\).

Comments

Verstehe ich das bitte richtig: Wenn jedes Element sein eigenes Inverses ist, dann ist auch die Verknüpfung zweier Elemente das Inverse?

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Mit \(a,b\in G\) ist auch deren Verknüpfung \(a*b\in G\) und damit nach Voraussetzung selbstinvers.

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Warum gilt die Gleichheit (a*b)^-1 = b^-1 * a^-1  ? Warum kann hier schon Kommutativität angewendet werden, obwohl die erst gezeigt werden soll?

Answer 2

(a*b)*(a*b) = e, da a*b selbstinvers ist. Zeige, dass b*a ein weiteres inverses Element von a*b ist. Aus der Eindeutigkeit des inversen Elements folgt dann das gewünschte Resultat.

Comments

Damit ich das richtig verstehe: Wenn jedes Element sein eigenes Inverses ist, dann ist auch die Verknüpfung solcher zweier Elemente ein Inverses, und folglich ergibt die Verknüpfung zweier Verknüpfungen das neutrale Element. Richtig so?

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Ja, im weiteren Beweisverlauf musst du dann das Assoziativgesetz nutzen