Inverses von 23 in der Gruppe (ℤ_41,+) und in der Gruppe (ℤ_41\{0},·)

Question

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen, ich verstehe den Unterschied zwischen den beiden Gruppen nicht und wie man auf das jeweilige Inverse von 23 berechnet.

Also ich würde sagen 25 ist ein Inverses:

41=1*32+18

...

2=2*1+0

1=3-2*1

...

1=9*41-16*23

1=-16*23

1=25*23

Stimmt das? Und falls ja, in welcher dieser Gruppen?

Ich bin vollkommen verzweifelt

Answer 1

Hallo Weberknecht, in der Gruppe (Z/41, +) ist die Inverse i gesucht, so dass 23 + i = 0.  Da muss i = -23 sein.  In der Gruppe (Z/41, *) ist die Inverse i gesucht, so dass 23 * i = 1.  Da ist i, wie du schon geschrieben hast, 25, denn 23 * 25 = 575 = 1. 

Comments

Hallo Weberknecht, deine oben angegebene Rechnung mit dem erweiterten Euklid-Algo ist bis auf einen Zahlendreher korrekt.

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Achso, das ergibt Sinn, aber ich glaub die -23 müsste man noch in 18 umwandeln damit sie in der Gruppe ist, oder?

Danke fürs Helfen!

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Hallo Weberknecht, stimmt.  Aber genaugenommen geht’s ja nicht um Zahlen sondern um Restklassen.  Da ist [-23] = [18] = [59] = …  Aber man gibt ja normalerweise die Zahl zwischen 0 und 40 an, also hast du recht.