Aloha :)
Die \(\phi\)-Funktion ist die Standard-Normalverteilung mit den Erwartungswert \(0\) und der Standardabweichung \(1\). Wir haben es hier mit einer normal-verteilten Zufallsvariablen \(X\) mit Erwartungswert \(\mu_X\) und Standardabweichung \(\sigma_X\) zu tun. Du kannst \(X\) mit der sogenannten "z-Transformation" in eine Standard-normalverteilte Zufallsvariable \(Z\) umrechnen:$$Z\coloneqq\frac{X-\mu_X}{\sigma_X}$$Wenn du kurz darüber nachdenkst, macht das Sinn. Wenn wir den Erwartungswert \(\mu_X\) von \(X\) abziehen, erhalten wir eine Zufallsvariable mit Erwartungswert \(0\). Wenn wir zusätzlich noch durch die Standardabweichung \(\sigma_X\) dividieren, normieren wir die Standardabweichung der neuen Zufallsvariablen auf \(1\).
Die Funktion \(\phi(z)\) gibt nun die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Standard-normalverteilte Zufallsvariable \(Z\) einen Wert kleiner als \(z\) annimmt:$$\phi(z)=P(Z\le z)$$
Im Folgenden lasse ich den Index \(X\) bei \(\mu_X\) und \(\sigma_X\) weg.
$$\small P(X\ge a)=1-P(X\le a)=1-\phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$$$\small P(|X|\le1)=P(-1\le X\le 1)=P(X\le1)-P(x<-1)=\phi\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right)-\phi\left(\frac{-1-\mu}{\sigma}\right)$$$$\small P(|X-\mu|\ge\varepsilon)=P(X-\mu\ge\varepsilon)+P(X-\mu\le-\varepsilon)=P(X\ge\mu+\varepsilon)+P(X\le\mu-\varepsilon)$$$$\small\phantom{P(|X-\mu|\ge\varepsilon)}=1-P(X\le\mu+\varepsilon)+P(x\le\mu-\varepsilon)$$$$\small\phantom{P(|X-\mu|\ge\varepsilon)}=1-\phi\left(\frac{(\mu+\varepsilon)-\mu}{\sigma}\right)+\phi\left(\frac{(\mu-\varepsilon)-\mu}{\sigma}\right)$$$$\small\phantom{P(|X-\mu|\ge\varepsilon)}=\pink{1-\phi\left(\frac{\varepsilon}{\sigma}\right)}+\phi\left(-\frac{\varepsilon}{\sigma}\right)=\pink{\phi\left(-\frac{\varepsilon}{\sigma}\right)}+\phi\left(-\frac{\varepsilon}{\sigma}\right)=2\phi\left(-\frac{\varepsilon}{\sigma}\right)$$
Bei der letzten Umformung habe ich die Symmetrie \(\pink{\phi(z)+\phi(-z)=1}\) der Standard-Normalverteilung ausgenutzt.
