Normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert

Question

Aufgabe:

Die Raumhöhe der Häuser eines Bauunternehmens ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert \( \mu=2,60 \mathrm{m} \) und Varianz \( \sigma^{2}=0,09 \mathrm{m}^{2} \). Definieren Sie dafür die passende Variable \( X \). Geben Sie die Parameter und die Verteilung dieser Zufallsvariable \( X \) an.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hält das Unternehmen die gesetzlich vorgeschriebene Mindesthöhe von \( 2,50 \mathrm{m} \) ein?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Raum höher als \( 2,60 \mathrm{m} ? \)
c) Berechnen Sie das zentrale \( 90 \% \) Schwankungsintervall für die Raumhöhe.
d) Wie groß müsste die erwartete Raumhöhe des Unternehmens sein, um die gesetzliche Mindestvorgabe von \( 2,50 \mathrm{m} \) mit einer Wahrscheinlichkeit von \( 99 \% \) zu erfüllen?

Answer 1

a) 1 - Φ((2,5-μ)/σ)

b) 1 - Φ((2,6-μ)/σ)

c) Φ((x-μ)/σ) = 0.95 ergibt laut Standardnormalverteilungstabelle

    (1)        (x-μ)/σ = 1,645

    also auch

    (2)        (x-μ)/σ = -1,645

    für Φ((x-μ)/σ) = 0.05. Löse beide Gleichungen nach x auf.

d) Φ(x) = 0,01 ergibt x = -2.326. Die 2,50 m müssen also 2.326 Standardabweichungen unterhalb des Erwartungswertes sein. Löse also

        μ - 2,326σ = 2,5

mit dem angegebenen σ nach μ auf.

Φ ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Comments

Hi, erstmal Dankeschön für die ausführliche Antwort, aber ich hätte da noch paar Fragen, und zwar bei a) bekomme ich 0.86413 raus aber in den Lösungen steht 0,62930. Wie genau hast du das gerechnet?

2. Kannst du bitte die Aufgabe c) einmal ausführlich aufschreiben mit Zahlen einsetzen weil das mit dem Schwankungsintervall blick ich gar nicht durch. Und woher kommen alle Zahlen bei d)

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bei a) bekomme ich 0.86413 raus

Berechne

        1 - Φ((2,5-μ)/σ)

anstatt

        1 - Φ((2,5-μ)/σ²).

Kannst du bitte die Aufgabe c) einmal ... mit Zahlen einsetzen

    (x-μ)/σ = 1,645

⇔ (x-2,6)/0,3 = 1,645

⇔ x-2,6 = 0,4935

⇔ x = 3,0935

Das ist die obere Grenze des Intervalls. Die andere Gleichung liefert die untere Grenze des Inervalls.

Und woher kommen alle Zahlen bei d)

99 % der Raumhöhen sollen mindestens 2,5 m betragen. Also dürfen 1% höchstens 2,5 m betragen. Daher die 0,01.

x = -2.326 kommt dann aus der Standardnormalverteilungstabelle.

Die 2,5 in der Gleichung

        μ - 2,326σ = 2,5

kommt dann aus der Aufgabenstellung. Setze 0,3 für σ ein und rechne μ aus.

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Dankeschön eine letzte frage wär da noch.

(x-2,6)/0,3 = 1,645 wie hast du das gerechnet dass da 1.645 raus kommt

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Ich habe in der Standardnormalverteilungstabelle nachgeschaut, wo eine Wahrscheinlichkeit von 0,95 auftritt.