Normalverteilung Zufallsvariable P[X <= 5] ausrechnen

Question

gegeben ist folgende Aufgabe. Ich weiß nicht ob ich das so richtig habe, vielen Dank für Eure Hilfe!!

Gegeben ist die normalverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert µ= 5 und Varianz δ^2 = 2. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:

P [X  <= 5 ]

Dann bin ich wie folgt vorgegangen

X ~ N (5,2)

daraus folgt

$$\sigma \quad =\quad \sqrt { 2 } ,\quad µ \quad =\quad 5$$

Und dann

$$Y\quad =\quad \frac { X\quad -\quad µ }{ σ } $$

Was ja dann bei mir wäre:

$$Y\quad =\quad \frac { X\quad -\quad 5 }{ \sqrt { 2 }  } $$

Dann hab ich für X einfach die 5 eingesetzt

$$Y\quad =\quad \frac { 5\quad - \quad 5 }{ \sqrt { 2 }  } =\quad 0$$

$$\Phi (0)\quad =\quad 0,5$$

Ist das so korrekt?

Vielen vielen Dank :)

Answer 1

Gegeben ist die normalverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert µ= 5 und Varianz δ^2 = 2. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:

P [X  <= 5 ]

Das ist doch von der Standardabweichung nicht abhängig.

es gilt in der Normalverteilung immer:

P(X <= µ) = P(X >= µ) = 50%

und P(X = µ) = 0

Comments

Hi,

danke für deine Antwort.

Leider verstehe ich nicht was du mir damit sagen willst. Kannst du mir das vielleicht für Dumme erklären?

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Nehmen wir an ein Getränk wird abgefüllt mit 1000 ml. Standardabweichung egal.

Die WK, dass genau 1000.0000000000000000000000000 ml in der Flasche sind ist 0.

Die WK das mehr als 1000 ml oder das weniger als 1000 ml in der Falsche sind sind jeweils 50%

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Okay, das mit dem genau ist mir klar. Das ist ja bei Normalverteilung immer 0.

Aber das mit

P(X <= µ) = P(X >= µ) = 50%

und P(X = µ) = 0

verstehe ich nicht ganz. Was sagt mir das aus bzw. was willst du mir damit sagen? das µ würde in deinem beispiel für die 1000ml stehen, richtig? Wenn X also 1000 wäre, wäre die Wkeit 0.

Allerdings kann ich das jetzt nicht auf mein Beispiel abbilden.

Ich habe oben versucht auf die Standardnormalabweichung zu kommen um dann in der Tabelle nachschauen zu können, war das falsch?

Die nächste Aufgabe wäre

Pr [ 4.01 <= X  <= 5.14 ]

Da hätte ich es auf dem gleichen Weg probiert. von beiden das Y ausrechnen und dann voneinander abziehen.

Danke für deine Hilfe :)

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Es gilt

P(X <= µ) = 50%

In der Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeit das etwas vor dem Erwartungswert liegt 50%. Das etwas hinter dem Erwartungswert auch 50%. Das liegt daran das die verteilung symmetrisch um den Erwartungswert ist.

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P(4.01 ≤ x ≤ 5.14) = Φ((5.14 - 5)/√2) - Φ((4.01 - 5)/√2) = Φ(0.10) - Φ(-0.70) = 0.5398 - 0.2420 = 29.78%

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Ich hab das raus

Sind aber dann wohl Rundungsfehler, oder?

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Ja das sind dann nur rundungsfehler. Kannst du Φ(0.099) ablesen bei dir ?

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Nein, daher bin ich auf 0.09  gegangen. hätte aber wohl besser 0.1 genommen.

Vielen Dank für die schnelle Hilfe am Sonntag :)

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Ja. Entweder nimmst du 0.1 oder du machst sogar noch eine lineare interpolation. In der Schule sollten wir noch linear interpolieren. Heutzutage kenne ich keinen Schüler der noch linear interpoliert. Da dürfen die nächsten Funktionswerte abgelesen werden.

Answer 2

normalverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert µ= 5 und Varianz δ^2 = 2. 

Skizziere die Glockenkurve mit dem Maximum bei  µ= 5 .

Die Fläche unter der Glockenkurve ist ja insgesamt 1. Aufgrund der Symmetrie teilt x=5 die Fläche in 2 gleiche Teile.

Daher gilt P(X≤5) = 0.5.

Du hast die Kurve auf die Standardnormalverteilung zurücgeführt und bekommst auch 0.5 raus. Das ist also richtig aber unnötig aufwändig. 

Comments

Hi :)

danke für deine Antwort. Ich möchte das aber gerne mit der Formel üben für die weiteren Aufgaben.

Die nächste Aufgabe wäre: Pr [ 4.01 <= X  <= 5.14 ]

Die hab ich dann so gelöst:

Wäre das so richtig?

Danke :)

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Wie kommst du auf -1 ?

Gilt  Phi(-0.7) = 1 - Phi(0.7) ?

Wenn ja, dann sollte das eigentlich stimmen. Du solltest aber  auf der letzten Zeile schon noch angeben, dass diese Zahl dort P(.... ≤ X ≤....) ist.

Achte auf die Darstellung. Es muss ersichtlich sein, was Zwischenrechnungen sind, was zusammengehört und was du da eigentlich ausgerechnet hast.