Berechnen Sie eine Orthonormalbasis für U

Question

Aufgabe:

Sei U ⊂ ℝ der Unterraum, der von (1,1,3) und (0,3,2) aufgespannt wird.

a) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis für U

b) Bestimmen Sie die orthogonale Projektion des Vektors (2,1,0) auf U

Problem/Ansatz:

a) habe ich gelöst mit folgendem Ergebnis: Basis= { \( \frac{1}{\sqrt{11}} \) \( \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} \) , \( \frac{1}{\sqrt{682}} \) \( \begin{pmatrix} -9\\24\\-5 \end{pmatrix} \) }

b) Verstehe ich leider nicht ganz. Der Vektor (2,1,0) soll also senkrecht auf den Unterraum U zeigen oder wie? Wie bekomme ich das hin?

Mit freundlichen Grüßen und vielen lieben Dank!

Answer 1

Du sollst einen zu U senkrechten Vektor v finden,

so dass (2,1,0) + v in U liegt.

Also Löse (2,1,0) + a(-7;-2;3) = b(1;1;3)+c(-9;24;-5)

Comments

@ Mathemanjp: Vielleicht sollst Du aber auch Deinem Lehrmaterial eine fertige Formel für die Berechnung der Orthogonalprojektion entnehmen und verwenden - wenn Du schon eine ONB hast.

Answer 2

Aloha :)

Dein Ergebnis für die Orthonormalbasis kann ich bestätigen.

Da die beiden Basisvektoren orthogonal zeinander sind, kannst du die Projektion von \(\vec v=(2;1;0)^T\) auf beide Basisvektoren \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\) addieren, um die Projektion von \(\vec v\) in den Unterraum \(U\) zu erhalten:$$\vec v|U=(\vec v\cdot\vec b_1)\cdot\vec b_1+(\vec v\cdot\vec b_2)\cdot\vec b_2=\frac{3}{11}\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}+\frac{6}{682}\begin{pmatrix}-9\\24\\-5\end{pmatrix}=\frac{1}{682}\begin{pmatrix}132\\330\\528\end{pmatrix}=\frac{3}{31}\begin{pmatrix}2\\5\\6\end{pmatrix}$$

Achtung: Dieses Vorgehen funktioniert im Allgemeinen nur, wenn die Basisvektoren orthogonal sind.

Comments

Bemerkung: Nach dem Aufgabentext wird wohl zwischen orthogonal und orthonormal unterschieden. Letzteres ermöglicht die angegebene Formel.

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Hier muss ich Mathhilf noch ergänzen. Die Methode der Projektion funktioniert auch für orthogonale Basisvektoren, nur muss dann die allgemeine Projektionsformel verwendet werden:$$\vec v|U=\left(\frac{\vec v\cdot\vec b_1}{\vec b_1\cdot\vec b_1}\right)\cdot\vec b_1+\left(\frac{\vec v\cdot\vec b_2}{\vec b_2\cdot\vec b_2}\right)\cdot\vec b_2$$Wenn die Basis-Vektoren orthonormal sind (wie hier), haben sie die Länge \(1\) und die beiden Nenner sind \(1\).