Zeigen Sie Orthonormalbasis.

Question

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E seien \( \mathbb{R}^{2} \) mit der Standardbasis \( S, \phi \in O_{2}(\mathbb{R}) \) eine Isometrie bzgl. des Standardskalarproduktes \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) und \( D_{S}(\phi)=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \).
(a) Zeigen Sie, dass \( \left\{\left(\begin{array}{l}a \\ c\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}b \\ d\end{array}\right)\right\} \) eine Orthonormalbasis von \( \mathbb{R}^{2} \) bildet.
(b) Zeigen Sie \( b=\pm c \) und \( a=\pm d \).
(c) Zeigen Sie, dass es ein \( \alpha \in[0,2 \pi[ \) gibt mit
$$ D_{S}(\phi)=\left(\begin{array}{cc} \cos (\alpha) & -\sin (\alpha) \\ \sin (\alpha) & \cos (\alpha) \end{array}\right) \quad \text { oder } \quad D_{S}(\phi)=\left(\begin{array}{cc} \cos (\alpha) & \sin (\alpha) \\ \sin (\alpha) & -\cos (\alpha) \end{array}\right) . $$
Hinweis: Sie dürfen in Teil (c) die Definition des Sinus und Cosinus im Einheitskreis benutzen.

Answer 1

(a) Die Spalten der Darstellungsmatrix sind die Bilder der Basisvektoren.

(b) Aus der Orthogonalität folgt

(1)        \(a\cdot b+c\cdot d=0\).

Aus der Normiertheit folgt

(2)        \(c=\sqrt{1-a^{2}}\)

und

(3)        \(b=\sqrt{1-d^{2}}\).

Setze (2) und (3) in (1) ein und forme um.

(c) Es ist \(\phi(0) = 0\). Also liegt das Bild \(\phi(\hat{e})\) des Basisvektors \(\hat{e}\) auf dem Einheitskreis.