Hallo Rainer,
a) Hier wäre mein Ansatz das Gramm-Schmidt Verfahren zu verwenden. Hier komme ich auf die Basis \(\{ 2^{-1/2} \cdot \begin{pmatrix} 1& 1& 0& 0\end{pmatrix}^T , \space 2^{-1/2} \cdot \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 1\end{pmatrix}^T \}\). Stimmt das?
Das ist richtig, wobei hier der Gram-Schmidt die Kanone auf den Spatzen ist. \(u_1\) und \(u_2\) stehen bereits senkrecht aufeinander, da offensichtlich \(\left< u_1,\, u_2\right> = 0\) ist und müssen nur noch normiert werden.
b) Hier habe ich \(p(e_n) = ⟨e_n , v_1 ⟩\cdot v_1 + ⟨e_n , v_2⟩ \cdot v_2\) wo \(v_1\) und \(v_2\) die Vektoren aus U sind. Am Ende hab ich alle resultierenden Vektoren als Spalten in eine Matrix gepackt.
Ja - genau, Du solltest dann folgende Matrix \(M\) erhalten:$$M= \begin{pmatrix}0,5& 0,5& 0& 0\\ 0,5& 0,5& 0& 0\\ 0& 0& 0,5& 0,5\\ 0& 0& 0,5& 0,5\end{pmatrix}$$
Was ist die darstellende Matrix der orthogonalen Projektion?
\(M\) selbst ist diese Matrix. Du kannst das kontrollieren, indem Du einen möglichst beliebigen Vektor \(x\) abbildest - z.B.:$$x = \begin{pmatrix}-8\\ 2\\ 3\\ 5\end{pmatrix}, \quad x' = M \cdot x = \begin{pmatrix}-3\\ -3\\ 4\\ 4\end{pmatrix}$$Zum einen muss \(x'\) eine Linearkombination von \(u_1\) und \(u_2\) sein. Das ist offensichtlich der Fall, da \(x' = -3u_1 + 4u_2\) und zum anderen muss der Differenzvektor \(x-x'\) senkrecht auf \(u_1\) und \(u_2\) stehen. $$x-x' = \begin{pmatrix}-8\\ 2\\ 3\\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-3\\ -3\\ 4\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\ 5\\ -1\\ 1\end{pmatrix}\\ \left< x-x',\, u_1\right> = 0 \\ \left< x-x',\, u_2\right> = 0 $$Gruß Werner
