Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von U

Question

Aufgabe:

Sei U = ⟨(1 1 0 0)^T ,(0 0 1 1)^T ⟩ ein Untervektorraum des ℝ⁴

(a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von U

(b) Geben Sie die darstellende Matrix der orthogonalen Projektion p : ℝ⁴ --> ℝ⁴ auf U
bezüglich der Standardbasis {e1, e2, e3, e4} an.

Problem/Ansatz:

a) Hier wäre mein Ansatz das Gramm-Schmidt Verfahren zu verwenden. Hier komm ich auf die Basis { 2^-1/2 * (1 1 0 0)^T ,2-1/2 * (0 0 1 1)^T  }. Stimmt das?

b) Hier habe ich p(e_n) = ⟨e_n , v₁ ⟩*v₁ + ⟨en , v₂⟩*v₂ wo v1 und v2 die vektoren aus U sind. Am Ende hab ich alle resultierenden Vektoren als Spalten in eine Matrix gepackt. Was ist die darstellende Matrix der orthogonalen Projektion? Und ist mein Ansatz richtig?

Answer 1

Hallo Rainer,

a) Hier wäre mein Ansatz das Gramm-Schmidt Verfahren zu verwenden. Hier komme ich auf die Basis $\{ 2^{-1/2} \cdot \begin{pmatrix} 1& 1& 0& 0\end{pmatrix}^T , \space 2^{-1/2} \cdot \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 1\end{pmatrix}^T \}$. Stimmt das?

Das ist richtig, wobei hier der Gram-Schmidt die Kanone auf den Spatzen ist. $u_1$ und $u_2$ stehen bereits senkrecht aufeinander, da offensichtlich $\left< u_1,\, u_2\right> = 0$ ist und müssen nur noch normiert werden.

b) Hier habe ich $p(e_n) = ⟨e_n , v_1 ⟩\cdot v_1 + ⟨e_n , v_2⟩ \cdot v_2$ wo $v_1$ und $v_2$ die Vektoren aus U sind. Am Ende hab ich alle resultierenden Vektoren als Spalten in eine Matrix gepackt.

Ja - genau, Du solltest dann folgende Matrix $M$ erhalten:$$M= \begin{pmatrix}0,5& 0,5& 0& 0\\ 0,5& 0,5& 0& 0\\ 0& 0& 0,5& 0,5\\ 0& 0& 0,5& 0,5\end{pmatrix}$$

Was ist die darstellende Matrix der orthogonalen Projektion?

$M$ selbst ist diese Matrix. Du kannst das kontrollieren, indem Du einen möglichst beliebigen Vektor $x$ abbildest - z.B.:$$x = \begin{pmatrix}-8\\ 2\\ 3\\ 5\end{pmatrix}, \quad x' = M \cdot x = \begin{pmatrix}-3\\ -3\\ 4\\ 4\end{pmatrix}$$Zum einen muss $x'$ eine Linearkombination von $u_1$ und $u_2$ sein. Das ist offensichtlich der Fall, da $x' = -3u_1 + 4u_2$ und zum anderen muss der Differenzvektor $x-x'$ senkrecht auf $u_1$ und $u_2$ stehen. $$x-x' = \begin{pmatrix}-8\\ 2\\ 3\\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-3\\ -3\\ 4\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\ 5\\ -1\\ 1\end{pmatrix}\\ \left< x-x',\, u_1\right> = 0 \\ \left< x-x',\, u_2\right> = 0$$Gruß Werner

Answer 2

Hallo

ja, a ist richtig, für b hast du die richtige Methode. (Probe: untersuche ob M*ei in U liegt.)

Gruß lul