Ist |x| gleichmäßig stetig?

Question

Aufgabe:

Ich habe bereits bewiesen, dass f(x)=|x| stetig ist, mit Hilfe des Folgenkriteriums. Nun ist allerdings noch zu überprüfen, ob |x| auch gleichmäßig stetig ist.

Problem/Ansatz:

Die Definition der glm Stetigkeit ist mir bekannt: |f/x) -f(y)| <ε ∀x,y ∈ D mit |x-y| < ζ.

Das heißt, dass ||x|-|y|| < ε doch eine umgedrehte Dreiecksungleichung ist?

Wie wäre dieser Beweis nun fortzuführen?

Comments

Nach Definition wäre doch |x-y| < δ := ε
Mir stellt sich viel mehr die Frage, ob dies schon die fertige Abschätzung ist bzw. wie der Beweis für die gleichmäßige Stetigkeit fortzuführen wäre?

Answer 1

Hallo,

ja, es gibt die von Dir benötigte "umgekehrte Dreiecksungleichung"

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Umgekehrte_Dreiecksungleichung

Gruß Mathhilf

Comments

Danke für deine Antwort!

Die Existenz dieser Dreiecksungleichung ist mir bekannt: ||x|-|y|| ≤ |x-y| (bzw. ≤ |x|-|y|

Nach Definition wäre doch |x-y| < δ := ε

Mir stellt sich viel mehr die Frage, ob dies schon die fertige Abschätzung ist bzw. wie der Beweis für die gleichmäßige Stetigkeit fortzuführen wäre?

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Ja, Du bist fertig: Wenn \(e>0\) gegeben ist, dann setze \(d:=e\) und:

$$|x-y|<d \Rightarrow ||x|-|y||\leq |x-y|<d=e$$

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Vielen Dank für deine Hilfe