Begründe, dass der Graph von f maximal drei Extremstellen besitzt.

Question

Aufgabe:8. Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=-1/10 x^4 + 4/9375x^3- 13/250x^2+ 8/5 +140
mit Definitionsbereich R.
a)
Begründe, dass der Graph von f maximal drei Extremstellen besitzt.
b) Berechne die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von f und bestimme die Art der Extrempunkte. [Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind 20, 100 und 200.]

c) Der Graph von schließt mit den Koordinatenachsen und der zur y-Achse parallelen Geraden mit der Gleichung x = 240 ein Flächenstück ein.
1. Schraffiere das Flächenstück in der nachfolgenden Abbildung.
2. Bestimme den Flächeninhalt des Flächenstücks.
3. Bestimme eine Gleichung der Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft und dieses Flächenstück halbiert.
4. Bestimme eine Gleichung der Geraden, die parallel zur ×-Achse verläuft und dieses
5. Flächenstück halbiert (also in zwei gleichgroße Flächenstücke).

Problem/Ansatz: hi kann mir jemand helfen?? :/

Answer 1

In lokalen Extremstellen hat die erste Ableitung eine Nullstelle.

Die Ableitung eines Polynoms vierten Grades

hat den Grad 3. Ein Polynom dritten Grades hat höchstens

drei Nullstellen. Dies liefert Aussage a).

Answer 2

Hallo,

a) Begründe, dass der Graph von f maximal drei Extremstellen besitzt.

Extremmstellen sind Nullstellen der 1. Ableitung. Die 1. Ableitung dieser Funktion hat den Grad 3 und kann daher maximal 3 Nullstellen besitzen.

Bevor ich weiter rechne, überprüfe bitte mal die Funktionsgleichung, die du geschrieben hast. Ist die so richtig?

\(f(x)=-\frac{1}{10}x^4+\frac{4}{9375}x^3-\frac{13}{250}x^2+\frac{8}{5}x+140\)

Gruß, Silvia

\(f(x)=-\frac{1}{10^6}x^4+\frac{4}{9375}x^3-\frac{13}{250}x^2+\frac{8}{5}x+140\)

b) Berechne die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von f und bestimme die Art der Extrempunkte.

Bilde die 1. Ableitung, setze sie = 0 und löse nach x auf.

Setze deine Ergebnisse dann in die 2. Ableitung ein um zu prüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt. Die y-Koordinaten der Punkte bestimmst du, indem du deine Ergebnisse in f(x) einsetzt.

c) Der Graph von schließt mit den Koordinatenachsen und der zur y-Achse parallelen Geraden mit der Gleichung x = 240 ein Flächenstück ein.
1. Schraffiere das Flächenstück in der nachfolgenden Abbildung.

Das könnte so aussehen:

2. Bestimme den Flächeninhalt des Flächenstücks.

Berechne das \(\int \limits_{0}^{240}f(x)\; dx\)

Comments

Hi Silvia,

1/10 ist eigentlich 1/106 x^4, leider habe ich das Versehen da dass sehr klein geschrieben wurde!

Mfg!

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Also so?

\(f(x)=-\frac{1}{106}x^4+\frac{4}{9375}x^3-\frac{13}{250}x^2+\frac{8}{5}x+140\)

Mein Graph zu der Funktion sieht allerdings anders aus als deiner. Guck bitte nochmal genau hin oder stell ein Foto vom Originaltext ein.

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Text erkannt:

Probeklausur Q1.2.
Name:
8. Gegeben ist die Funktion \( f \) mit
\( f(x)=-\frac{1}{10^{6}} x^{4}+\frac{4}{9375} x^{3}-\frac{13}{250^{2}} x^{2}+\frac{8}{5}+\frac{140}{\text { mit Definitionsbereich } \mathrm{R} .} \)
a) Begründe, dass der Graph von \( f \) maximal drei Extremstellen besitzt.
(2 Punkte)
b) Berechne die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von \( f \) und bestimme die Art der Extrempunkte. [Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind 20, 100 und 200.]
(6 Punkte)
c) Der Graph von \( f \) schließt mit den Koordinatenachsen und der zur \( y \)-Achse parallelen Geraden mit der Gleichung \( x=240 \) ein Flächenstück ein.
(1) Schraffiere das Flächenstück in der nachfolgenden Abbildung.
(2 Punkte)
(2) Bestimme den Flächeninhalt des Flächenstücks.
(4 Punkte)
(3) Bestimme eine Gleichung der Geraden, die parallel zury-Achse verläuft und dieses Flächenstück halbiert
(4 Punkte)
(4) Bestimme eine Gleichung der Geraden, die parallel zur \( x \)-Achse verläuft und dieses Flächenstück halbiert (also in zwei gleichgroße Flächenstücke).
(4 Punkte)

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Also irgendwas stimmt an der Gleichung nicht, ich komme nicht auf die Extremstellen.

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Der Knoten in meinem Kopf ist aufgelöst und die Gleichung lautet

\(f(x)=-\frac{1}{10^6}x^4+\frac{4}{9375}x^3-\frac{13}{250}x^2+\frac{8}{5}x+140\)

b) Berechne die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von f und bestimme die Art der Extrempunkte.

Bilde die 1. Ableitung, setze sie = 0 und löse nach x auf.

Setze deine Ergebnisse dann in die 2. Ableitung ein um zu prüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt. Die y-Koordinaten der Punkte bestimmst du, indem du deine Ergebnisse in f(x) einsetzt.