Äquivalenzrelation auf MxM Menge

Question

Aufgabe:

b) Sei \( M=\{1, \ldots, 9\} \). Gcben Sie die kleinste Menge \( R \subset M \times M \) an, die eine Äquivalenzrelation auf \( M \) bildet und dic Elemente \( (3,4),(5,6),(5,7),(7,8) \) enthält. Begründen Sie kurz die Richtigkeit Ihrer Antwort.

Problem/Ansatz:

Wie geht man vor bei der Lösung von Aufgabe b)

Answer 1

Wegen der Reflexivität jedenfalls müssen dazu

\( (1,1),(2,2),\dots,(9,9) \)

Wegen der Symmetrie auch

\( (4,3),(6,5),(7,5),(8,7) \)

Für die Transitivität muss z.B. wegen

(6,5) und (5,7) auch (6,7) dabei sein.

Entsprechend die anderen Fälle prüfen.

(5,6)und(6,7) führt auf (5,7), aber das ist ja eh schon dabei.

Comments

Geben Sie die kleinste Menge \( R \subset M \times M \) an, die eine Äquivalenzrelation auf \( M \) bildet

Reicht es nicht aus zu sagen, dass es sich um die Relation \(\in [3\dots 8]\) handelt. Mit $$A = \{3,4,5,6,7,8\}$$wäre dann die Äquivalenzklasse $$R = \{(a,b)|\space a,b \in M \land 3 \le a,b \le 8\} = A \times A$$und die Relation wäre (in Prosa) "das Element aus \(M\) liegt im Interval \([3\dots 8]\)".

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Sehr unklar , was du hier meinst, z.B.  die Äquivalenzklasse , es gibt 5 Äquivalenzklassen, oder z.B. (3,5) ∈ AxA gehört aber nicht zu R.

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Sehr unklar , was du hier meinst ...

Interessant ;-)

vorneweg: ich bin kein Mathematiker, wie Ihr vielleicht wisst, aber neugierig und versuche das zu lernen!

Die Antwort von mathef habe ich so verstanden, dass \(R = M\times M\) sein soll. Da nach der kleinsten möglichen Menge gesucht ist, schlage ich vor $$R = A \times A \quad \text{mit} \space A=\{3,4,5,6,7,8\}$$ zu wählen, wobei \(R\) alle angegebenen Relationen \( (3,4),(5,6),(5,7),(7,8) \) und noch weitere - so z.B. auch \((3,5)\) - enthält. Und die Beziehung (Relation) ist: das Element aus \(M\) liegt im geschlossenen Intervall von 3 bis 8.

Den Begriff 'Äquivalenzklasse' habe ich oben wohl falsch benutz !?

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Die Antwort von mathef habe ich so verstanden, dass \(R = M\times M\) sein soll.

Das habe ich nicht gemeint, sondern

"Entsprechend die anderen Fälle prüfen." sollte dich

dazu animieren das zu tun. Du wirst sehen, dass man nicht

alle Paare aus \(R = M\times M\) braucht.

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... sondern "Entsprechend die anderen Fälle prüfen." sollte dich dazu animieren das zu tun.

Du bist gut! Genau das hatte ich ja gemacht, und genau aus diesem Grund den Kommentar auch geschrieben!

Du schreibst:

Wegen der Reflexivität jedenfalls müssen dazu gehören
\( (1,1),(2,2),\dots,(9,9) \)

und ich meine, dass die drei Elemente \((1,1), \space (2,2), \space (9,9)\) nicht dazugehören müssen. Es reicht doch aus, sich auf alle Kombinationen der Zahlen 3 bis 8 aus \(M\) zu beschränken - oder?

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und ich meine, dass die drei Elemente \((1,1), \space (2,2), \space (9,9)\) nicht dazugehören müssen.

Dann wäre die Relation nicht reflexiv. Es soll doch

eine Äquivalenzrelation AUF M werden.

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Es soll doch eine Äquivalenzrelation AUF M werden.

Ja schon - heißt das, dass jedes(!) Element aus \(M\) in der Äquivalenzrelation vorkommen muss?

Wäre dann dies$$R=\{(1,1), (2,2), (3,3), (3,4), (4,4),\\(5,5),(5,6),(5,7),(5,8),(6,6),(6,7),(6,8),(7,7),(7,8),(8,8),(9,9)\}$$die vollständige Angabe von \(R\)?

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... plus die symmetrischen natürlich.

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Bei Wikipedia heißt es

R ist reflexiv : ⟺ \(    \forall x\in M:xRx     \)
Das ist wohl auch die übliche Def.

Es fehlen die gespiegelten (4,3) etc.

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Das

 

sind die fünf Äquivalenzklassen.
Genau in diesen steht jedes Element mit jedem anderen und sich selbst vorwärts und rückwärts in Relation, was dann die von dir angegebenen Paare ergibt.

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Danke - ich glaub' jetzt habe ich es kapiert!

Answer 2

Hier die Bedingungen:

https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation#%C3%84quivalenzrelation

Wende sie an!