Normen skizzieren. Abbildungen.

Question

Könnte jemand bei der (b) helfen? Wie kann ich die Normen skizzieren?

Und wenn ich alles richtig verstanden habe, ist die zweite Abbildung keine Norm. Was muss ich in diesem Fall machen?

Text erkannt:

(2) (a) Gegeben sei der normierte Raum \( (V,\|\cdot\|) \) und eine injektive lineare Abbildung \( f: V \rightarrow V \)
Zeigen Sie, dass dann \( \|\cdot\| \circ f \) wieder eine Norm ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Abbildungen
\( \|\cdot\|_{a}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}:\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto\left|2 x_{1}+x_{2}\right|+3\left|x_{2}\right| \text { und }\|\cdot\|_{b}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}:\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto \sqrt{4\left|x_{1}\right|^{2}+\left|x_{2}\right|^{2}} \)
Normen sind und skizzieren die zugehörigen Einheitskugeln.

Comments

Warum soll die 2. Keine Norm sein? Die Aufgabenstellung sagt doch ausdrücklich, man solle zeigen, dass es eine Norm ist.

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Dann verstehe ich auch nicht, wie kann ich mit der Dreiecksbeziehung zeigen, dass die 2. Abbildung eine Norm ist. Bei mir kommt immer raus, dass diese Bedingung nicht erfüllt ist

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Im Kontext der Aufgabe würde ich erwarten, dass Du b mit Hilfe von a auf bekannte Normen zurückführen sollst.

Answer 1

Benutze bei (b) das Ergebnis von (a),
indem du jeweils eine injektive lineare Abbildung angibst und eine
geeignete Norm (Betragssummennorm (1-Norm), euklidische Norm (2-Norm)).