Sind folgende Aussagen richtig?

Question

Gegeben seien vier Matrizen A,B,C,D und m,n∈N: A ist eine mxm Matrix, B eine mxn Matrix, C eine nxm matrix und D eine nxn Matrix. Diese Matrizen sind in folgender 2x2 Blockmatrix enthalten:

M=

A	B
C	D

Ich hätte Fragen bzgl folgender Aussagen:

1. Falls A invertierbar ist, dann ist auch M invertierbar

2. Falls B=0 oder C=0 (d.h. B oder C sind Matrizen deren Einträge alle 0 sind), dann gilt det(M)=det(A)det(D)

Ich denke, dass alle beide Aussagen richtig sind, jedoch hab ich bei der ersten so meine Zweifel. Aber lt. den Satz ( Inversion von Block Matrizen) müsste es richtig sein. Auch, wenn D invertierbar ist dann ist auch M invertierbar

Answer 1

Die erste Aussage ist garantiert falsch.

Im Detail habe ich mir das allerdings überhaupt nicht überlegen müssen .....

(für einen detaillierten Nachweis würde ich aber Honorar verlangen)

Comments

Wen n=m=1 ist und

$$M=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0\end{pmatrix}$$

Wäre das nicht ein Gegenbeispiel?

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Gegenbeispiel zu welcher Behauptung ?

(Ich denke, die Behauptungen sollten sich auf beliebige  m,n ∈ ℕ  beziehen)