Habe ich das Gegenbeispiel in der Logik richtig verstanden habe?

Question

Aufgabe:

Ich will das Prinzip des Gegenbeispiels verstehen (Logik, Aussagenlogik).

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

Habe ich das Gegenbeispiel in der Logik richtig verstanden habe?

Als Beispiel hier eine logische Folgerung:

"Alle Menschen sind sterblich, Sokrates ist ein Mensch, also ist S. sterblich."

Da der Satz offensichtlich wahr ist, fällt es mir schwierig ein Gegenbeispiel zu finden.

Wäre "Alle Menschen sind sterblich, Sokrates ist ein Mensch, also ist S. NICHT sterblich." ein Gegenbeispiel?

Wahre Prämisse, falsche Konklusion?

An sich will ich ja eig. Gegenbeispiele finden, um falsche Allaussagen als falsch zu beweisen, oder?

Bsp: Alle Primzahlen sind ungerade. → Gegenbsp.: 2 ist eine Primzahl und gerade. → These widerlegt.

Aber kann ich auch mit einem (falschen) Gegenbeispiel eine richtige These beweisen? Wie in dem Sokrates Bsp.?

Ich finde leider auch keine Quelle, in der Gegenbeispiel so wirklich definiert wird.

Ich hoffe ich denke nicht zu kompliziert, und meine Gedanken sind nachvollziehbar. Vielen Dank im Voraus

Answer 1

"Alle Menschen sind sterblich,

Für diese Aussage gäbe es kein Gegenbeispiel.

Von mythologischen Gestalten wollen wir ganz absehen.

Die Gesamtaussage ist nicht widerlegbar, genauer, die Folgerung, die darin enthalten ist. Sie zwingend.

vgl:

https://www.rhetos.de/html/lex/gegenbeispiel.htm

Man kann nur Aussagen und Behauptungen, die wahr oder falsch sein können, widerlegen.

"Alle Schwäne sind weiß" wurde widerlegt als man schwarze Schwäne fand.

Weltbilder werden widerlegt, wenn man neue, beweisbare Erkenntnisse gewinnt (Paradigma-Wechsel).

Das geozentrische Weltbild ist z.B. längst widerlegt. Seit 1992 sogar für die kath. Kirche.

PS:
Unsterblichkeit hält dieser Herr für möglich:

https://de.wikipedia.org/wiki/Frank_J._Tipler

Dann wäre die Prämisse falsch und es gälte: Ex falso quodlibet.

Sokrates glaubte an die Unsterblichkeit der Seele (Platon, Phaidon).

Christen glauben an die leibliche Auferstehung, was immer das heißen mag.

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Vielen Dank!

Answer 2

Existenzaussagen können durch Angabe eines Beispiel bewiesen werden.

Aussage. Es gibt eine natürliche Zahl, die kleiner als 7 ist.

Beweis. Die Zahl 3 ist eine natürliche Zahl, die kleiner als 7 ist.

An sich will ich ja eig. Gegenbeispiele finden, um falsche Allaussagen als falsch zu beweisen, oder?

Ja. Das liegt daran, dass die Verneinung einer Allaussage, also einer Aussage der Form

        Alle X sind Y,

die Existenzaussage

        Es gibt ein X, dass kein Y ist

ist.

"Alle Menschen sind sterblich, Sokrates ist ein Mensch, also ist S. sterblich."

Das ist keine Allaussage. Das ist eine Implikation.

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Ah, macht Sinn :) Danke.