Newton‘sche Näherungsformel

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die Gleichung \(×^3 = 1 - 2x\) näherungsweise.
Hinweis: Das Lösen der Gleichung kann auf eine Nullstellenbestimmung zurückgeführt werden,
indem man die Nullstellen von \(f(x) = x^3 - 1 + 2 x\) ermittelt.

Problem/Ansatz:

Thema ist Newton‘sche Näherungsformel

Wie löst man das danke

Comments

Schreib die Gleichung und den Funktionsterm ordentlich hin.

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Naja die Gleichung lautet x=1-2x

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Schreib den Funktionsterm ordentlich hin.

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Du meinst \(x^3=1-2x\). Die Lösung zu deiner Gleichung kann man im Kopf binnen einer Sekunde als x=1/3 angeben.

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Ja genau x^3

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Wie löst man das danke

Genauso, wie es beim Wort "Hinweis" rechts vom Doppelpunkt steht.

Answer 1

Hallo,

Wie haben zum Thema Newton-Verfahren auch einen Wissensartikel.
Und hier habe ich Dir das Verfahren für die Funktion \(f(x) = x^3 - 1 + 2 x\) in Desmos eingegeben (der rote Graph):

https://www.desmos.com/calculator/hoth6o6jli

Man wählt einen Startpunkt (z.B. hier \(x_0=1\)) und von dort nähert man sich über die Nullstellen der Tangenten (oben grün) der Nullstelle. $$x_{k+1} = x_{k}-\frac{f(x_k)}{f'(x_{k}}$$Den Startpunkt oben im Bild kann man verschieben!
Die exakte Lösung ist$$x_{n}=\frac{\sqrt[3]{2\left(9+\sqrt{177}\right)}-4\sqrt[3]{\frac{3}{9+\sqrt{177}}}}{6^{\frac{2}{3}}}\approx 0,453397651516$$Gruß Werner

Answer 2

Hallo

1. du brauchst einen Anfangspunkt nicht zu weit von der Nullstelle f(0)<0m f(1)>0 also ist 0,5 ein guter Anfang.x0=0,5

bilde f'(x) setze 0,5 in f und f' ein und berechne x1 = ... als nächste Näherung mit der Formel aus dem Thema, die du ja kennst, dann x1 eunstzen um x2 zu finden usw, bis es dir genau genug ist.

Gruß lul