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Aufgabe:

Lösen Sie die Gleichung \(×^3 = 1 - 2x\) näherungsweise.
Hinweis: Das Lösen der Gleichung kann auf eine Nullstellenbestimmung zurückgeführt werden,
indem man die Nullstellen von \(f(x) = x^3 - 1 + 2 x\) ermittelt.


Problem/Ansatz:

Thema ist Newton‘sche Näherungsformel

Wie löst man das danke

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Schreib die Gleichung und den Funktionsterm ordentlich hin.

Naja die Gleichung lautet x=1-2x

Schreib den Funktionsterm ordentlich hin.

Du meinst \(x^3=1-2x\). Die Lösung zu deiner Gleichung kann man im Kopf binnen einer Sekunde als x=1/3 angeben.

Ja genau x^3

Wie löst man das danke

Genauso, wie es beim Wort "Hinweis" rechts vom Doppelpunkt steht.

2 Antworten

+1 Daumen

Hallo,

Wie haben zum Thema Newton-Verfahren auch einen Wissensartikel.
Und hier habe ich Dir das Verfahren für die Funktion \(f(x) = x^3 - 1 + 2 x\) in Desmos eingegeben (der rote Graph):



Man wählt einen Startpunkt (z.B. hier \(x_0=1\)) und von dort nähert man sich über die Nullstellen der Tangenten (oben grün) der Nullstelle. $$x_{k+1} = x_{k}-\frac{f(x_k)}{f'(x_{k}}$$Den Startpunkt oben im Bild kann man verschieben!
Die exakte Lösung ist$$x_{n}=\frac{\sqrt[3]{2\left(9+\sqrt{177}\right)}-4\sqrt[3]{\frac{3}{9+\sqrt{177}}}}{6^{\frac{2}{3}}}\approx 0,453397651516$$Gruß Werner

Avatar von 48 k
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Hallo

1. du brauchst einen Anfangspunkt nicht zu weit von der Nullstelle f(0)<0m f(1)>0 also ist 0,5 ein guter Anfang.x0=0,5

bilde f'(x) setze 0,5 in f und f' ein und berechne x1 = ... als nächste Näherung mit der Formel aus dem Thema, die du ja kennst, dann x1 eunstzen um x2 zu finden usw, bis es dir genau genug ist.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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