Kann eine abzählbar unendliche Menge eine ℝ-Vektorraumstruktur haben?

Question

Wir haben in Lineare Algebra gerade Vektorräume, Basen und so.

Kann eine abzählbar unendliche Menge eine ℝ-Vektorraumstruktur haben?

Answer 1

Nein, wenn du damit meinst, dass die Menge V einen Vektorraum über dem Grundkörper ℝ bildet.

Nimm die Untermenge U := {λ*1 ∈ V: 1 ist das Einselement von V, λ ∈ ℝ}

Diese Menge ist nach Cantors zweitem Diagonalargument überabzählbar, also ist auch V überabzählbar.

Comments

Und wieso muss ein Vektorraum das Einselement besitzen? Laut Defintion muss ein Vektorraum nur ein neutrales Element gegenüber Adittion besitzen nicht aber gegenüber Multiplikation.

---

Das stimmt, das war mein Fehler.

Allerdings muss da nicht zwingend das Einselement gewählt werden, ich hatte das bloß aus Bequemlichkeit genommen.

Es reicht eigentlich, dass die Menge ein einziges von 0 verschiedenes Element besitzt - da sie ja abzählbar unendlich sein soll, existiert das mit Sicherheit.