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Aufgabe:

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Text erkannt:

Sei \( f \) jene Abbildung von \( \mathbb{Q}^{2} \) nach \( \mathbb{Q}^{3} \), welche durch
\( \left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \mapsto(x+y)\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \)
definiert ist. Seien \( e_{1}, e_{2}, e_{3} \) die kanonischen Basisvektoren des \( \mathbb{Q}^{3} \), und sei
\( e_{1}^{\prime}:=e_{1}, e_{2}^{\prime}:=e_{2}, e_{3}^{\prime}:=e_{1}+e_{2}+e_{3} \text {. } \)
(A) \( f\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)\right) \), koordinatisiert nach \( \left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) \), ist gleich \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \).
(B) \( f\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)\right) \), koordinatisiert nach \( \left(e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, e_{3}^{\prime}\right) \), ist gleich \( \left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right) \).
(C) Der Vektor aus \( \mathbb{Q}^{3} \) mit den Koordinaten \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \) bezüglich \( \left(e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, e_{3}^{\prime}\right) \) ist im Bild von \( f \) enthalten.

Problem/Ansatz:

B) soll wahr sein A), C) nicht. Könnte mir jemand eine Begründung für C geben und einen Rechenweg für A) und B). Weiß leider nicht genau wie man das macht

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1 Antwort

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Hallo

zu A setz doch einfach x=1,y=1 in f ein?

C) schreibt man den Vektor in die Basis e statt  e' um ist er (2,2,2)  und wenn du x+y =2 einsetzen kommt das raus.einsetzt

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Aber ist B) richtig? wenn ich da x+y einsetzt kommt ja (4,4,2)^T raus oder?

Hallo

(0,0,2) ist ja 2 e3' = (2,2,2) wie du auf (4,2,2) kommst weiss ich nicht

lul

e3' ist (2,2,2) und e1'(2,0,0) und e2'(0,2,0). Also das wär mein Weg aber der ist ja falsch. Ich hätte gedacht man muss rechnen 2*e1'+2*e2'+2*e3'

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