Wíeso ist folgende Aussage zu linearen Abbildungen falsch?

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum der endlichen Dimension n ≥ 1, W ein Vektorraum
der endlichen Dimension m ≥ 1,und sei f ∈ L(V, W).
(A) Existieren n verschiedene linear unabhängige Vektoren im Bild
von f, so ist f injektiv.
(B) Existieren m verschiedene linear unabhängige Vektoren
in W \ f(V ), so ist f konstant.
(C) Existieren m verschiedene linear unabhängige Vektoren im Bild
von f, so ist f injektiv.

Problem/Ansatz:

A,C sind klar, laut Lösung ist B jedoch falsch, ich kann aber kein Gegenbeispiel dazu finden bzw. verstehe nicht wieso die Aussage falsch ist.

Comments

Beachte, dass W \ f(V)  ≠  ⟨ W \ f(V) ⟩

Answer 1

Betrachte f:ℝ^2 → R^2  mit \(  f (\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} x\\0 \end{pmatrix} \)

Dann enthält R^2 \ f(V) z.B. die lin. unabh. Vektoren \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix},  \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}\)