Beweisen dass Matrixmultiplikation assoziativ ist.

Question

Aufgabe:

Ich möchte zeigen, dass Matrixmultiplikation assoziativ ist.

Problem/Ansatz:

$$(\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}e&f\\ g&h\end{pmatrix} )\times \begin{pmatrix}i&j\\ k&l\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix} \times (\begin{pmatrix}e&f\\ g&h\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}e&f\\ g&h\end{pmatrix} )$$

Habe überlegt die beiden auszumultiplizieren und damit wäre zumindest gezeigt, dass 2x2 Matrizen assoziativ sind. Allerdings ist dies sehr umständlich und nicht allgemein für alle Matrizen gezeigt.

Wie macht man es richtig?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank

Answer 1

\(A = \begin{pmatrix}a_{1,1} & \cdots & a_{1,q}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{p,1} & \cdots & a_{p,q} \end{pmatrix}\)

\(B=\begin{pmatrix}b_{1,1} & \cdots & b_{1,r}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{q,1} & \cdots & b_{q,r} \end{pmatrix}\)

\(C=\begin{pmatrix}c_{1,1} & \cdots & c_{1,s}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ c_{r,1} & \cdots & c_{r,s} \end{pmatrix}\)

Bestimme Terme für die Einträge in Zeile \(t\), Spalte \(u\) der Matrizen \(A\cdot(B\cdot C)\) und \((A\cdot B)\cdot C\).

Comments

Vielen Dank. Soll ich das so ausmultiplizieren oder was meinst du mit Termen bestimmen? Find durch Summenzeichen wird es gefühlt noch etwas komplizierter.

Answer 2

Aloha :)

Ich empfehle, die Berechung komponentenweise durchzuführen.

Allgemein seien gegeben:$$A\in\mathbb{R}^{m\times n}\quad;\quad B\in\mathbb{R}^{n\times p}\quad;\quad C\in\mathbb{R}^{p\times q}$$Die Größen der Matrizen sind so gewählt, dass ihr Produkt \((AB)C\) definiert ist.

Zum Beweis der Assoziativität betrachten wir die \(i\)-te Zeile und \(k\)-te Spalte des Produktes.$$\left[(AB)C\right]_{ik}=\sum\limits_{j=1}^p(AB)_{ij}C_{jk}=\sum\limits_{j=1}^p\left(\sum\limits_{\ell=1}^n A_{i\ell}B_{\ell j}\right)C_{jk}=\sum\limits_{j=1}^p\sum\limits_{\ell=1}^n A_{i\ell}B_{\ell j}C_{jk}$$$$\phantom{\left[(AB)C\right]_{ik}}=\sum\limits_{\ell=1}^n A_{i\ell}\left(\sum\limits_{j=1}^pB_{\ell j}C_{jk}\right)=\sum\limits_{\ell=1}^n A_{i\ell}\left(BC\right)_{\ell k}=[A(BC)]_{ik}\quad\checkmark$$

Comments

Vielen Dank!

Wie schaffst Du es da nicht mit den Indexen durcheinander zu kommen?

Kann es zwar nachvollziehen, wenn ich es selbst machen möchte, mache ich aber immer wieder kleine Fehler. Ist wahrscheinlich eine Sache der Übung... :D

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Du musst dir eigentlich nur merken, dass immer über die "inneren" Indizes summiert wird. Dann behält man ganz gut den Überblick.