Zeigen Sie, dass die Matrixmultiplikation assoziativ ist.

Question

Es seien \( A \in \mathbb{K}^{m, n}, B \in \mathbb{K}^{n, p} \) und \( C \in \mathbb{K}^{p, q} \). Zeigen Sie, dass die Matrixmultiplikation assoziativ ist:
\( (A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C) . \)

Sei
\( X=\left(\begin{array}{ccc} i & 1 & 4 \\ 2 & 2+3 i & 5 \end{array}\right) \in \mathbb{C}^{2,3} \)
Bestimmen Sie \( X^{H} \) und berechnen Sie \( X^{H} X \).

Answer 1

Aloha :)

Seien \(A\in\mathbb{K}^{m\times n}, B\in\mathbb{K}^{n\times p},C\in\mathbb{K}^{p\times q}\) gegeben. Ihre Größen sind so gewählt, dass ihr Produkt \((AB)C\) definiert ist. Zum Beweis der Assoziativität betrachten wir die \(i\)-te Zeile und \(k\)-te Spalte des Produktes.$$\left[(AB)C\right]_{ik}=\sum\limits_{j=1}^p(AB)_{ij}C_{jk}=\sum\limits_{j=1}^p\left(\sum\limits_{l=1}^n A_{il}B_{lj}\right)C_{jk}=\sum\limits_{j=1}^p\sum\limits_{l=1}^n A_{il}B_{lj}C_{jk}$$$$=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}\left(\sum\limits_{j=1}^pB_{lj}C_{jk}\right)=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}\left(BC\right)_{lk}=[A(BC)]_{ik}$$Die Matrix-Multiplikation ist daher für alle Komponenten assoziativ.

Answer 2

Zeigen Sie, dass die Matrixmultiplikation assoziativ ist:

Stelle einen Term für den Eintrag in Zeile \(i\) Spalte \(j\) der Matrix \((A\cdot B)\cdot C\) auf.

Stelle einen Term für den Eintrag in Zeile \(i\) Spalte \(j\) der Matrix \(A\cdot (B\cdot C)\) auf.

Zeige dass die Terme äquivalent sind.