Zeige das Abb^fin(M,K) ein Untervektorraum von Abb(M, K) ist.

Question

Aufgabe:

Sei M eine Menge und K ein Körper.

Zeigen Sie, dass die Teilmenge
\( \operatorname{Abb}^{\text {fin }}(M, K):=\{f: M \rightarrow K \mid f(m) \neq 0 \) nur für endlich viele \( m \in M\} \) ein Untervektorraum von \( \operatorname{Abb}(M, K) \) ist.

Problem/Ansatz:

könnte mir jemand einen Tipp geben wie ich diese Aufgabe lösen kann?

Answer 1

Wenn f und g aus \(\operatorname{Abb}^{\text {fin }}(M, K)  \) sind, dann auch

ihre Summe; denn f(m)+g(m) kann nur ungleich 0 sein, wenn

mindestens einer der Summanden ungleich 0 ist.

Entsprechend ist es auch für x*f mit x∈K.

Außerdem ist die 0-Abbildung in \(\operatorname{Abb}^{\text {fin }}(M, K)  \)

somit das klassische Unterraumkriterium erfüllt.