Zeigen Sie, dass die Matrixmultiplikation assoziativ ist.

Question

Es seien $A \in \mathbb{K}^{m, n}, B \in \mathbb{K}^{n, p}$ und $C \in \mathbb{K}^{p, q}$. Zeigen Sie, dass die Matrixmultiplikation assoziativ ist:
$(A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C) .$

Sei
$X=\left(\begin{array}{ccc} i & 1 & 4 \\ 2 & 2+3 i & 5 \end{array}\right) \in \mathbb{C}^{2,3}$
Bestimmen Sie $X^{H}$ und berechnen Sie $X^{H} X$.

Answer 1

Aloha :)

Seien $A\in\mathbb{K}^{m\times n}, B\in\mathbb{K}^{n\times p},C\in\mathbb{K}^{p\times q}$ gegeben. Ihre Größen sind so gewählt, dass ihr Produkt $(AB)C$ definiert ist. Zum Beweis der Assoziativität betrachten wir die $i$-te Zeile und $k$-te Spalte des Produktes.$$\left[(AB)C\right]_{ik}=\sum\limits_{j=1}^p(AB)_{ij}C_{jk}=\sum\limits_{j=1}^p\left(\sum\limits_{l=1}^n A_{il}B_{lj}\right)C_{jk}=\sum\limits_{j=1}^p\sum\limits_{l=1}^n A_{il}B_{lj}C_{jk}$$$$=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}\left(\sum\limits_{j=1}^pB_{lj}C_{jk}\right)=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}\left(BC\right)_{lk}=[A(BC)]_{ik}$$Die Matrix-Multiplikation ist daher für alle Komponenten assoziativ.

Answer 2

Zeigen Sie, dass die Matrixmultiplikation assoziativ ist:

Stelle einen Term für den Eintrag in Zeile $i$ Spalte $j$ der Matrix $(A\cdot B)\cdot C$ auf.

Stelle einen Term für den Eintrag in Zeile $i$ Spalte $j$ der Matrix $A\cdot (B\cdot C)$ auf.

Zeige dass die Terme äquivalent sind.