(a|c und c|b) → (a/c,b/c) = 1/|c| *(a,b)

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Für \( a, b \in \mathbb{Z} \), nicht beide gleich 0 , und \( c \in \mathbb{Z} \backslash\{0\} \) gilt (wobei \( (a, b)=\operatorname{ggT}(a, b) \) und \( [a, b]=\operatorname{kgV}(a, b)) \) :
(a) \( |a b|=(a, b) \cdot[a, b] \)
(b) \( (a c, b c)=|c| \cdot(a, b) \)
(c) \( (c|a \wedge c| b) \Longrightarrow\left(\frac{a}{c}, \frac{b}{c}\right)=\frac{1}{|c|} \cdot(a, b) \)
(d) \( (a|c \wedge b| c \wedge(a, b)=1) \Longrightarrow a b \mid c \)
Hinweis: Verwenden Sie die Darstellungen \( a=\prod \limits_{i=1}^{\infty} p_{i}^{\alpha_{i}} \) etc.

Problem/Ansatz:

Teilaufgaben a), b) und d) habe ich bereits mittels dem Hinweis bewiesen! Nur bei c) habe ich schon am Anfang große Schwierigkeiten. Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus ☺.

Answer 1

Hallo

a=n*c ; b=m*c deshalb ggT(a,b)=|c|*ggT(n,m)

Comments

Danke, aber so ganz verstehe ich deine Antwort nicht?!

Ich will ja \( (c|a \wedge c| b) \Longrightarrow\left(\frac{a}{c}, \frac{b}{c}\right)=\frac{1}{|c|} \cdot(a, b) \) mit \(\prod \limits_{i=1}^{\infty} p_{i}^{\alpha_{i}} \) zeigen.

Was sagt mit das: a=n*c ; b=m*c deshalb ggT(a,b)=|c|*ggT(

luln.m)

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Hallo

der Hinweis sagt ja nicht, dass du alles mit dem Primzahlprodukt zeigen sollst, in meinem post was rin Tipfehler ist jetzt berichtigt.

lul

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Danke dir - jetzt verstehe ich deine Antwort. Hab mir schon irgendwie gedacht, dass es sich um einen Tippfehler handelt.